Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O que temos aqui é uma equação do segundo grau:
com condições iniciais
e
. A Transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar lembrar das transformadas das derivadas e como aplicar a transformada nos dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
E para o lado direito:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar
na equação. Primeiro, movemos os termos que não envolvem
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Note que
, então:
Passo 5
Vamos separar as frações para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Podemos reescrever
como
. Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Então, somando tudo:
Resposta
A solução do problema é: