Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y'' + 2y' + y = 4e^(-t), y(0) = 2, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O que temos aqui é uma equação do segundo grau: com condições iniciais e . A Transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar lembrar das transformadas das derivadas e como aplicar a transformada nos dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
E para o lado direito:
Substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar na equação. Primeiro, movemos os termos que não envolvem para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Note que , então:

Passo 5

Vamos separar as frações para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Podemos reescrever como . Então:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Então, somando tudo:

Resposta

A solução do problema é:

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