Determine, se existirem, as constantes A, B, L in R, de modo que a função f: R R seja contínua em R: f(x)=cll3 x, & para & x <= 2 A x+B, & para & 2= 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos descobrir se existem constantes e que fazem essa função ser contínua em todos os números reais. Isso tá ligado ao estudo de continuidade de funções, onde a gente verifica se não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Para resolver isso, vamos garantir que os valores das diferentes partes da função se encaixem nos pontos onde elas mudam, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto limx to 2^- f(x) = 3 times 2 = 6 . A função muda de limx to 2^+ f(x) = A times 2 + B = 2A + B para 2A + B = 6 (Equação 1) quando passamos desse ponto. Para a função ser contínua ali, o valor que vem de quando se aproxima de 2 deve ser igual ao valor de quando se aproxima de 2 pela direita.
Calculando:
Igualando os dois:
çã

Passo 3

Agora, vamos para o ponto limx to 5^- f(x) = A times 5 + B = 5A + B . A função muda de limx to 5^+ f(x) = -6 times 5 = -30 para 5A + B = -30 (Equação 2) quando passamos desse ponto. Para ser contínua, o valor de quando se aproxima de 5 pela esquerda deve ser igual ao valor de quando se aproxima de 5 pela direita.
Calculando:
Igualando os dois:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2A + B = 6 5A + B = -30
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(5A + B) - (2A + B) = -30 - 6
3A = -36
A = -12
Agora, substituindo o valor de 2(-12) + B = 6 na Equação 1:
-24 + B = 6
B = 30

Resposta

As constantes que tornam a função contínua são e .

Exercícios relacionados