Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série infinita
converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries infinitas e análise de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da série. Observamos que o denominador é um polinômio de segundo grau em
:
. Para facilitar, vamos tentar fatorar esse polinômio.
Passo 3
Vamos fatorar
. Procuramos dois números que multiplicados dão
(produto de
e
) e somados dão
. Esses números são
e
. Assim, podemos reescrever o polinômio:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a fração parcial para simplificar
. Procuramos números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, substituímos valores de
que simplificam a equação:
- Quando
:
- Quando
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a série original usando essa fração parcial:
Observe que essa série é telescópica, o que significa que a maior parte dos termos se cancela. Vamos calcular a soma dos primeiros
termos:
Note que quase todos os termos internos se cancelam, restando apenas:
Passo 6
Para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A série converge e o valor da soma é
.