Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
sumn=1^infty 19 n^2+3 n-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries infinitas e análise de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da série. Observamos que o denominador é um polinômio de segundo grau em : . Para facilitar, vamos tentar fatorar esse polinômio.

Passo 3

Vamos fatorar 9n^2 + 6n - 3n - 2 = 3n(3n + 2) -1(3n + 2) = (3n -1)(3n +2) . Procuramos dois números que multiplicados dão 19n^2 +3n -2 = 1(3n -1)(3n +2) (produto de e ) e somados dão . Esses números são e . Assim, podemos reescrever o polinômio:
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a fração parcial para simplificar 1(3n -1)(3n +2) = A3n -1 + B3n +2 . Procuramos números 1 = A(3n +2) + B(3n -1) e 1 = A(3 cdot 13 + 2) Rightarrow 1 = A(1 +2) Rightarrow A = 13 tais que:
1 = B(3 cdot -23 -1) Rightarrow 1 = B(-2 -1) Rightarrow B = -13
Multiplicando ambos os lados por 1(3n -1)(3n +2) = 13 ( 13n -1 - 13n +2 ) , temos:
Para encontrar e , substituímos valores de que simplificam a equação:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a série original usando essa fração parcial:
sumn=1^infty 19n^2 +3n -2 = 13 sumn=1^infty ( 13n -1 - 13n +2 )
Observe que essa série é telescópica, o que significa que a maior parte dos termos se cancela. Vamos calcular a soma dos primeiros SN = 13 ( ( 12 - 15 ) + ( 15 - 18 ) + dots + ( 13N -1 - 13N +2 ) ) termos:
SN = 13 ( 12 - 13N +2 )
Note que quase todos os termos internos se cancelam, restando apenas:

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, tomamos o limite quando limN to infty SN = 13 ( 12 - 0 ) = 16 tende ao infinito:

Resposta

A série converge e o valor da soma é .

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