Sejam
funções definidas em um intervalo aberto
e
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
( ) Se existirem os limites
e
então existirá o limite
.
( ) Se existirem os limites
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão está relacionada aos limites de funções em matemática. Temos duas funções,
e
, definidas em um intervalo aberto
, e um ponto
dentro desse intervalo. A pergunta é: se sabemos que os limites
e
existem, isso garante que o limite
também existe? Vamos descobrir!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma regra básica dos limites: A soma dos limites é o limite da soma, desde que ambos os limites existam. Ou seja, se:
Então:
Passo 3
Agora, o que a questão nos dá é que
e
existem. Queremos saber se isso implica que
também existe.
Vamos chamar:
Sabemos que:
Passo 4
Para encontrar
, podemos rearranjar a equação:
Como
e
são limites que já existem, a subtração deles também existe. Portanto,
existe.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se os limites
e
existem, então o limite
também existe.