Sejam f, g: I R funções definidas em um intervalo aberto I e a in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
( ) Se existirem os limites lim x a f(x) e lim x a[f(x)+g(x)] então existirá o limite lim x a g(x).

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão está relacionada aos limites de funções em matemática. Temos duas funções, e , definidas em um intervalo aberto , e um ponto dentro desse intervalo. A pergunta é: se sabemos que os limites e existem, isso garante que o limite também existe? Vamos descobrir!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma regra básica dos limites: A soma dos limites é o limite da soma, desde que ambos os limites existam. Ou seja, se:
limx to a f(x) = L
limx to a g(x) = M
Então:
limx to a [f(x) + g(x)] = L + M

Passo 3

Agora, o que a questão nos dá é que limx to a f(x) = L e limx to a [f(x) + g(x)] = M existem. Queremos saber se isso implica que M = L + limx to a g(x) também existe.
Vamos chamar:
Sabemos que:

Passo 4

Para encontrar limx to a g(x) = M - L , podemos rearranjar a equação:
Como e são limites que já existem, a subtração deles também existe. Portanto, existe.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se os limites e existem, então o limite também existe.

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