Em cada item, determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{3}+4}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar é o critério de Leibniz para séries alternadas. Precisamos verificar dois pontos sobre os termos
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{3}+4}\colon
1) \lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
2) (a_{n}) é decrescente para n\ge3.

Passo 2

Calculamos o limite de a_{n}:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1+4/n^{3}} =0.
Logo, o primeiro requisito do critério de Leibniz está satisfeito.

Passo 3

Mostramos que a_{n} é decrescente para n\ge3. Considere a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+4},\quad x\ge3.
Derivando,
f'(x) =\frac{2x(x^{3}+4)-3x^{4}}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{-x^{4}+8x}{(x^{3}+4)^{2}}.
Para x\ge3 o numerador -x^{4}+8x\le -3^{4}+8\cdot3=-81+24=-57<0. Assim f'(x)<0 e f é decrescente em [3,\infty). Logo a_{n+1}<a_{n} para todo n\ge3.

Passo 4

Tendo \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 e a_{n} decrescente, pelo critério de Leibniz a série alternada converge. Como a série de termos absolutos
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
comporta-se como \sum1/n (que diverge), concluímos que a convergência não é absoluta, mas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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