Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu períod fundamental.
f(x)=\left{ \begin{array}{ll}0, & 2 n-1 \leq x<2 n, \\ 1, & 2 n \leq x<2 n+1 ;\end{array} \quad n=0, \pm 1, \pm 2, ···\right.

Passo 1

O enunciado dá a função f\) definida por \[f(x) = \begin{cases} 0, & 2n-1 \le x < 2n,\\\\ 1, & 2n \le x < 2n+1, \end{cases} \quad n\in\mathbb{Z}.
Precisamos verificar se existe T>0\] tal que \[f(x+T)=f(x)\quad\forall x,\] e, em caso afirmativo, encontrar o menor \(T, chamado de período fundamental.

Passo 2

Teste T=2. Seja x qualquer ponto:
  • Se x\in[2n-1,2n), então x+2\in[2(n+1)-1,2(n+1)). Logo
f(x)=0 \quad\text{e}\quad f(x+2)=0.
  • Se x\in[2n,2n+1), então x+2\in[2(n+1),2(n+1)+1). Logo
f(x)=1 \quad\text{e}\quad f(x+2)=1.
Em ambos os casos f(x+2)=f(x). Portanto 2 é um período de f.

Passo 3

Verificamos se existe período menor que 2. Suponha T=1. Temos
f(0)=1 \quad\text{mas}\quad f(1)=0,
pois 1\in[1,2). Como f(1)\ne f(0), T=1 não funciona. Não há T<2 que satisfaça f(x+T)=f(x) para todo x.

Resposta

A função é periódica e seu período fundamental é T_0 = 2.

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