Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{n} x}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{n}x}{3^{n}}
converge e, nesse caso, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries infinitas geométricas: vamos identificar a razão, usar a condição de convergência \lvert r\rvert<1 e aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Perceba que
\frac{\sin^{n}x}{3^{n}} =\Bigl(\frac{\sin x}{3}\Bigr)^{n}.
Logo a série é geométrica de primeiro termo a=r=\sin x/3 e razão r=\sin x/3:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{\sin x}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica \sum_{n=1}^\infty r^n é
|r|<1.

Passo 4

No nosso caso r=\sin x/3, então precisamos de
\Bigl|\frac{\sin x}{3}\Bigr|<1 \;\Longleftrightarrow\; |\sin x|<3.
Como |\sin x|\le1 para todo x, essa desigualdade é sempre satisfeita. Portanto, a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para |r|<1, a soma da série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r}.
Substituindo r=\frac{\sin x}{3}, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{n}x}{3^{n}} =\frac{\frac{\sin x}{3}}{1-\frac{\sin x}{3}} =\frac{\sin x}{3-\sin x}.

Resposta

A série converge para todo x\in\mathbb{R} e sua soma é
\frac{\sin x}{3-\sin x}.

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