Seja Q_{1} um quadrado de lado medindo l_{1} unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios dos lados de Q_{1}, formamos um novo quadrado Q_{2} de lado medindo l_{2} unidades de comprimento. Assim procedendo indefinidamente, obtemos a sequência de quadrados Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, \ldots, onde S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{n}, \ldots são, respectivamente, as medidas das áreas destes quadrados. Determine o valor da soma S=S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}+\cdots.

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado Q_{1} de lado l_{1} e formamos Q_{2} unindo os pontos médios de Q_{1}, repetindo o processo indefinidamente. Precisamos somar as áreas S_{n} desses quadrados. O conteúdo principal é progressão geométrica e soma de série infinita.

Passo 2

Quando unimos os pontos médios de um quadrado de lado l_{n}, o novo quadrado Q_{n+1} tem lado
l_{n+1} \;=\;\frac{l_{n}}{\sqrt{2}}.
Como S_{n}=l_{n}^{2}, segue
S_{n+1}=l_{n+1}^{2}=\Bigl(\frac{l_{n}}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}=\frac{1}{2}\,l_{n}^{2}=\frac{1}{2}\,S_{n}.
Portanto \{S_{n}\} é uma PG de razão r=\tfrac12.

Passo 3

Em uma PG de primeiro termo S_{1} e razão r com \lvert r\rvert<1, a soma infinita é
\sum_{n=1}^{\infty}S_{n}=\frac{S_{1}}{1-r}.

Passo 4

Aqui S_{1}=l_{1}^{2} e r=\tfrac12, então
S = \sum_{n=1}^{\infty}S_{n} = \frac{l_{1}^{2}}{1-\tfrac12} =2\,l_{1}^{2}.

Resposta

S=2\,l_{1}^{2}.

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