Seja
um quadrado de lado medindo
unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios dos lados de
, formamos um novo quadrado
de lado medindo
unidades de comprimento. Assim procedendo indefinidamente, obtemos a sequência de quadrados
, onde
são, respectivamente, as medidas das áreas destes quadrados. Determine o valor da soma
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um quadrado
de lado
e formamos
unindo os pontos médios de
, repetindo o processo indefinidamente. Precisamos somar as áreas
desses quadrados. O conteúdo principal é progressão geométrica e soma de série infinita.
Passo 2
Quando unimos os pontos médios de um quadrado de lado
, o novo quadrado
tem lado
Como
, segue
Portanto
é uma PG de razão
.
Passo 3
Em uma PG de primeiro termo
e razão
com
, a soma infinita é
Passo 4
Aqui
e
, então