Em cada item, determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2n}{n+1}\right)^{5n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos gerais, e vamos usar o teste da raiz (ou teste de Cauchy) que examina
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

Denotemos
a_n = \left(-\frac{2n}{n+1}\right)^{5n}.
Para aplicar o teste da raiz, primeiro consideramos o valor absoluto do termo geral:
|a_n| = \left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5n}.

Passo 3

O teste da raiz diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
existe, então:
1. Se L<1, a série converge absolutamente.
2. Se L>1, a série diverge.
3. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculamos
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5n}} = \left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}\right)^{5} = 2^{5} = 32.

Passo 5

Como o valor limite L=32 é maior que 1, o teste da raiz garante que a soma dos a_n diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-\tfrac{2n}{n+1}\bigr)^{5n} é divergente.

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