Investigue a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas de termos positivos. Vamos usar decomposição em frações parciais para mostrar que a soma parcial telescopa e, em seguida, tomar o limite.
Passo 2
Façamos a decomposição em frações parciais de
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Comparando coeficientes de
e o termo constante, vemos que
e
. Logo
Passo 3
Definamos a soma parcial
Essa soma é telescópica, pois ao expandir vemos cancelamentos em cadeia:
Quase todos os termos intermediários cancelam, restando
Passo 4
Para concluir a convergência, basta tomar o limite de
quando
:
Como esse limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é