Investigue a convergência da série \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)}.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)}.
O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas de termos positivos. Vamos usar decomposição em frações parciais para mostrar que a soma parcial telescopa e, em seguida, tomar o limite.

Passo 2

Façamos a decomposição em frações parciais de
\frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)} = \frac{A}{x+\pi} + \frac{B}{x+\pi+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+\pi)(x+\pi+1), obtemos
1 = A(x+\pi+1) + B(x+\pi).
Comparando coeficientes de x e o termo constante, vemos que A+B=0 e A=1. Logo
\frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)} = \frac{1}{x+\pi} - \frac{1}{x+\pi+1}.

Passo 3

Definamos a soma parcial
S_{n} = \sum_{x=1}^{n} \frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)} = \sum_{x=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{x+\pi} - \frac{1}{x+\pi+1}\Bigr).
Essa soma é telescópica, pois ao expandir vemos cancelamentos em cadeia:
S_{n} = \Bigl(\frac{1}{1+\pi}-\frac{1}{2+\pi}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{2+\pi}-\frac{1}{3+\pi}\Bigr) +\cdots + \Bigl(\frac{1}{n+\pi}-\frac{1}{n+\pi+1}\Bigr).
Quase todos os termos intermediários cancelam, restando
S_{n} = \frac{1}{1+\pi} - \frac{1}{n+\pi+1}.

Passo 4

Para concluir a convergência, basta tomar o limite de S_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{1+\pi} - \frac{1}{n+\pi+1}\Bigr) = \frac{1}{1+\pi}.
Como esse limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é
\sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{(x+\pi)(x+\pi+1)} = \frac{1}{1+\pi}.

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