Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente
e
) que a função dada assume no intervalo especificado.
(b)
(b)
Passo 1
Então, temos a função $ f(x) = x^{3} - 2x^{2} $ definida no intervalo
. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os valores mínimo (
) e máximo (
) que essa função alcança nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre como encontrar os pontos onde a função pode ter esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos. Se você não está familiarizado, a derivada basicamente mostra a taxa de variação da função.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 2x^{2} $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Aqui, nossa derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 4x $ existe para todos os
, então vamos resolver:
Fatorando, temos:
Isso nos dá dois valores de
:
Passo 4
Com os pontos críticos identificados (
e
), vamos avaliar a função
nesses pontos e também nas extremidades do intervalo
.
Calculando:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:
O menor valor entre eles é
e o maior é
.
Resposta
Os valores mínimo e máximo que a função $ f(x) = x^{3} - 2x^{2} $ assume no intervalo
são: