Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente m e M ) que a função dada assume no intervalo especificado.
(b) f(x)=x^3-2 x^2, x in[-2,3]

Passo 1

Então, temos a função $ f(x) = x^{3} - 2x^{2} $ definida no intervalo f(x) = x^3 - 2x^2 . Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os valores mínimo ( [-2,3]) e máximo ( m) que essa função alcança nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre como encontrar os pontos onde a função pode ter esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos. Se você não está familiarizado, a derivada basicamente mostra a taxa de variação da função.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 2x^{2} $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de x onde a derivada é igual a zero ou não existe. Aqui, nossa derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 4x $ existe para todos os f'(x) = 3x^2 - 4x , então vamos resolver:
x
Fatorando, temos:
3x^2 - 4x = 0
Isso nos dá dois valores de x(3x - 4) = 0 :
x

Passo 4

Com os pontos críticos identificados ( x = 0 e x = 43), vamos avaliar a função f(x) nesses pontos e também nas extremidades do intervalo [-2,3].
Calculando:
  • Para x = -2:
f(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 = -8 - 8 = -16
  • Para x = 0:
f(0) = 0^3 - 2(0)^2 = 0
  • Para x = 43:
f(43) = (43)^3 - 2(43)^2 = 6427 - 2 cdot 169 = 6427 - 329 = 6427 - 9627 = -3227
  • Para x = 3:
f(3) = 3^3 - 2(3)^2 = 27 - 18 = 9

Passo 5

Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:
f(-2) = -16, f(0) = 0, f(43) = -3227 approx -1,19, f(3) = 9
O menor valor entre eles é -16 e o maior é 9.

Resposta

Os valores mínimo e máximo que a função $ f(x) = x^{3} - 2x^{2} $ assume no intervalo f(x) = x^3 - 2x^2 são:
[-2,3]

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