Em cada item, determine os valores de k in R para os quais o sistema tenha infinitas soluções, solução única e não tenha solução.
2 x-6 y+2 z & =0 x+y+z & =0 2 x+k z & =0

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
2x - 6y + 2z = 0, x + y + z = 0, 2x + k,z = 0,
com parâmetro kinR. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: para sistemas homogêneos de 3 equações e 3 incógnitas, o número de soluções depende do determinante da matriz dos coeficientes. Vamos calcular esse determinante e analisar os casos.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A= 2 & -6 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e calculamos
det A = 2 & -6 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k =2,(1cdot k-1cdot0)-(-6),(1cdot k-1cdot2)+2,(1cdot0-1cdot2) =8(k-2)

Passo 3

Se , ou seja ( ), então e o sistema homogêneo só tem a solução trivial . Logo há solução única.

Passo 4

Se
o que dá infinitas soluções parametricamente .

Resposta

Infinitas soluções: k=2
Solução única: kneq2
Não há valor de k que leve a sistema sem solução.

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