Em cada item, determine os valores de para os quais o sistema tenha infinitas soluções, solução única e não tenha solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo
2x - 6y + 2z = 0, x + y + z = 0, 2x + k,z = 0,
com parâmetro kinR. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: para sistemas homogêneos de 3 equações e 3 incógnitas, o número de soluções depende do determinante da matriz dos coeficientes. Vamos calcular esse determinante e analisar os casos.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A= 2 & -6 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e calculamos
det A = 2 & -6 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k =2,(1cdot k-1cdot0)-(-6),(1cdot k-1cdot2)+2,(1cdot0-1cdot2) =8(k-2)
Passo 3
Se , ou seja (), então e o sistema homogêneo só tem a solução trivial . Logo há solução única.
Passo 4
Se
o que dá infinitas soluções parametricamente .
Resposta
Infinitas soluções: k=2
Solução única: kneq2
Não há valor de k que leve a sistema sem solução.