Em cada item, determine os valores de k in R para os quais o sistema tenha infinitas soluções, solução única e não tenha solução.
r3 x+6 y=3 2 x+5 y+z=3 y+z=k

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
3x + 6y = 3, 2x + 5y + z = 3, y + z = k,
e pede para encontrar os valores de kinR que garantem existência de solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar eliminação e discutir consistência em função de k.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
3x + 6y = 3 Longrightarrow x = 1 - 2y

Passo 3

Substituindo x=1-2y na segunda equação obtemos
2(1-2y) + 5y + z = 3 ;Longrightarrow; 2 - 4y + 5y + z = 3 ;Longrightarrow; y + z = 1

Passo 4

Agora temos duas equações iguais em y e z:
y + z = 1 e y + z = k
Para que sejam compatíveis, é preciso k=1.
  • Se k=1, as duas últimas equações coincidem e restam apenas duas equações independentes para três incógnitas, gerando infinitas soluções (um parâmetro livre, por exemplo y).
  • Se kneq1, as equações y+z=1 e y+z=k são contraditórias e não há solução.

Resposta

Infinitas soluções para k=1.
Solução única não ocorre para nenhum k.
Nenhuma solução para todo kneq1.

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