Em cada item, determine os valores de para os quais o sistema tenha infinitas soluções, solução única e não tenha solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
3x + 6y = 3, 2x + 5y + z = 3, y + z = k,
e pede para encontrar os valores de kinR que garantem existência de solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar eliminação e discutir consistência em função de k.
Passo 2
Da primeira equação isolamos x:
3x + 6y = 3 Longrightarrow x = 1 - 2y
Passo 3
Substituindo x=1-2y na segunda equação obtemos
2(1-2y) + 5y + z = 3 ;Longrightarrow; 2 - 4y + 5y + z = 3 ;Longrightarrow; y + z = 1
Passo 4
Agora temos duas equações iguais em y e z:
y + z = 1 e y + z = k
Para que sejam compatíveis, é preciso k=1.
Se k=1, as duas últimas equações coincidem e restam apenas duas equações independentes para três incógnitas, gerando infinitas soluções (um parâmetro livre, por exemplo y).
Se kneq1, as equações y+z=1 e y+z=k são contraditórias e não há solução.
Resposta
Infinitas soluções para k=1.
Solução única não ocorre para nenhum k.
Nenhuma solução para todo kneq1.