Em cada item, diagonalize, usando uma matriz ortogonal, a matriz dada A, encontrando a matriz diagonal D e a matriz ortogonal P.
(a) A=[ll2 & 2 2 & 2]
(b) A=[lll0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal de matrizes simétricas reais. Num caso geral, para uma matriz A=A^T devemos:
  1. calcular os autovalores lambda resolvendo det(A-lambda I)=0,
  2. para cada lambda encontrar a base de autovetores,
  3. ortonormalizar estes vetores e montar a matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores,
  4. obter a matriz diagonal D=P^TAP com as entradas Dii=lambdai.

Passo 2

(a) Calcular os autovalores de
A=2&22&2
O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det2-lambda&22&2-lambda =(2-lambda)^2-4 =lambda^2-4lambda,
logo as raízes são
lambda1=4, lambda2=0

Passo 3

Para lambda1=4 resolvemos
(A-4I)x=0;Longrightarrow;-2&22&-2x=0
que dá o autovetor v1=(1,1).
Para lambda2=0 resolvemos
Ax=0;Longrightarrow;2&22&2x=0
que dá v2=(1,-1).
Ortonormalizando:
p1=1raiz2(1,1), p2=1raiz2(1,-1)
Assim
P=p1&p2 =1raiz21&11&-1, D=P^TAP=4&00&0

Passo 4

(b) A matriz
é bloco-diagonal com blocos e . Os autovalores do bloco já são e , e o primeiro bloco dá outro . Logo

Passo 5

Autovetor para
Para :
de onde . Bases:
Ortonormalizando e juntando com o autovetor de :
Então
e

Resposta

(a)
P=1raiz21&11&-1, D=4&00&0
(b)
P= 0 & 1 & 0 1raiz2 & 0 & 1raiz2 1raiz2 & 0 & -1raiz2 , D=4&0&00&0&00&0&0

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