Em cada item, diagonalize, usando uma matriz ortogonal, a matriz dada
, encontrando a matriz diagonal
e a matriz ortogonal
.
(a)
(b)
A=[lll0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 0 & 2 & 2]
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização ortogonal de matrizes simétricas reais. Num caso geral, para uma matriz
A=A^T devemos:
- calcular os autovalores
resolvendolambda ,det(A-lambda I)=0 - para cada
encontrar a base de autovetores,lambda - ortonormalizar estes vetores e montar a matriz ortogonal
cujas colunas são esses vetores,P - obter a matriz diagonal
com as entradasD=P^TAP .Dii=lambdai
Passo 2
(a) Calcular os autovalores de
O polinômio característico é
logo as raízes são
Passo 3
Para
lambda1=4 resolvemos
que dá o autovetor
v1=(1,1) .
Paralambda2=0 resolvemos
Para
que dá
v2=(1,-1) .
Ortonormalizando:
Ortonormalizando:
Assim
Passo 4
(b) A matriz
é bloco-diagonal com blocos
e
. Os autovalores do bloco
já são
e
, e o primeiro bloco dá outro
. Logo
Passo 5
Autovetor para
Para
:
de onde . Bases:
Ortonormalizando e juntando com o autovetor de
:
Então
e
Resposta
(a)
(b)