Para cada uma das seguintes matrizes, determine o polinômio característico, os autovalores e autovetores.
(a) A=(rrr1 & -1 & 3 -1 & 1 & 3 3 & -3 & 9)
(b) A=(rrr3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 5)

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz A, que a gente ache o polinômio característico det(A - lambda I)=0, os autovalores (raízes desse polinômio) e, para cada autovalor lambda, os autovetores não nulos que satisfazem (A - lambda I)v=0. O conteúdo é Álgebra Linear: cálculo de determinantes, fatoração de polinômio e solução de sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Para a matriz
A = 1 & -1 & 3 -1 & 1 & 3 3 & -3 & 9
montamos A - lambda I e calculamos
det(A - lambda I) =det 1-lambda & -1 & 3 -1 & 1-lambda & 3 3 & -3 & 9-lambda
Fazendo a expansão por cofatores (ou notando que a terceira linha é 3 vezes a primeira), chega-se a
det(A-lambda I) =-lambdal(lambda^2-11lambda+18r) =-lambda(lambda-9)(lambda-2)

Passo 3

Do fator -lambda(lambda-9)(lambda-2)=0, obtemos os autovalores
lambda1 = 0, lambda2 = 2, lambda3 = 9

Passo 4

Agora, para cada [\lambda), resolvemos :
  1. :
    Autovetores: .
  2. :
    Escolhendo .
  3. :
    Autovetor: .

Passo 5

Para a matriz
B = 3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 5
vemos um bloco 2times2 3 & -2-2 & 3 e um valor 5 isolado. O polinômio do bloco é
det 3-lambda & -2 -2 & 3-lambda =(3-lambda)^2-4 =lambda^2-6lambda+5 =(lambda-1)(lambda-5),
e o bloco 1times1 dá fator (5-lambda). Portanto
det(B-lambda I) =(lambda-1)(lambda-5)^2

Passo 6

Os autovalores de B são
lambda1=1, lambda2=5 (mu<iplicidade 2)

Passo 7

Resolvendo [(B-\lambda I)v=0):
  1. :
    Autovetor: (v=t(1,1,0)].
  2. Eigenspaço de dimensão 2, com base por exemplo em .

Resposta

(a)
Polinômio característico:
det(A-lambda I)=-lambda(lambda-2)(lambda-9)
Autovalores: ;0,,2,,9.
Autovetores:
lambda=0:;v=(1,1,0), lambda=2:;v=(1,8,3), lambda=9:;v=(1,1,3)
(b)
Polinômio característico:
det(B-lambda I)=(lambda-1)(lambda-5)^2
Autovalores: ;1,;5 (mu<iplicidade 2).
Autovetores:
lambda=1:;v=(1,1,0), lambda=5:;v1=(1,-1,0),;v2=(0,0,1)

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