Sejam S=(1,2),(0,1) e T=(1,1),(2,3) bases para R^2. Sejam também v= (1,5) e w=(5,4).
(a) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T.
(b) Qual é a matriz de mudança de base PT S da base T para a base S ?
(c) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação a S usando PT S.
(d) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação a S diretamente.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2,
S=(1,2),(0,1), T=(1,1),(2,3),
e os vetores vec v=(1,5), vec w=(5,4).
O conteúdo é mudança de base:
(a) achar coordenadas em T,
(b) construir a matriz de mudança PTto S,
(c) usar PTto S para obter coordenadas em S,
(d) checar as coordenadas em S diretamente.

Passo 2

Para achar as coordenadas de um vetor em relação à base
com , .
Para temos
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Para (\vec w=(5,4)] temos

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Passo 3

A matriz de mudança de base PTto S satisfaz
[;x;]S = PTto S,[;x;]T
e tem colunas dadas pelas coordenadas de t1,t2 em S.
Escrevemos
t1=(1,1)=alpha(1,2)+beta(0,1);Rightarrow;alpha=1,;beta=-1,
t2=(2,3)=alpha'(1,2)+beta'(0,1);Rightarrow;alpha'=2,;beta'=-1
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PTto S = 1 & 2 -1 & -1

Passo 4

Aplicando PTto S a [vec v]T e [vec w]T:
[vec v]S =1&2-1&-1 -74 =-7+87-4 =13,
[vec w]S =1&2-1&-1 7-1 =7-2-7+1 =5-6

Passo 5

Diretamente em S=s1,s2 com s1=(1,2), s2=(0,1), resolvemos
a,s1 + b,s2 = vec v=(1,5) ;Rightarrow; a=1,;2a+b=5;Rightarrow;b=3 ;Rightarrow; [vec v]S=13,
a,s1 + b,s2 = vec w=(5,4) ;Rightarrow; a=5,;2a+b=4;Rightarrow;b=-6 ;Rightarrow; [vec w]S=5-6

Resposta

(a) [vec v]T=(-7,4)^T, [vec w]T=(7,-1)^T.
(b)
PTto S =1&2-1&-1
(c) [vec v]S=(1,3)^T, [vec w]S=(5,-6)^T via PTto S.
(d) Diretamente em S, [vec v]S=(1,3)^T, [vec w]S=(5,-6)^T.

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