Em cada item, encontre a área limitada pelo gráfico da função f(x) e o eixo x
f(x)=x^2-3 x+2, com x in[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área limitada pelo gráfico da função f(x) = x^2 - 3x + 2 e o eixo x no intervalo de x de 0 a 2. Isso significa que precisamos calcular a área entre a curva da função e o eixo horizontal ( x ) nesse intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função f(x) = x^2 - 3x + 2 . Para isso, vamos encontrar onde a função cruza o eixo x , ou seja, onde f(x) = 0 .
Resolvendo a equação:
x^2 - 3x + 2 = 0
Podemos fatorar:
(x - 1)(x - 2) = 0
Portanto, as raízes são x = 1 e x = 2 . Isso significa que a função cruza o eixo x nesses pontos.

Passo 3

Agora que sabemos onde a função cruza o eixo x , vamos analisar o sinal de f(x) nos intervalos definidos por essas raízes:
  1. De x = 0 até x = 1 :
    Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0,5 :
f(0,5) = (0,5)^2 - 3(0,5) + 2 = 0,25 - 1,5 + 2 = 0,75
Como o resultado é positivo, a função está acima do eixo x nesse intervalo.
  1. De x = 1 até x = 2 :
    Escolhendo x = 1,5 :
f(1,5) = (1,5)^2 - 3(1,5) + 2 = 2,25 - 4,5 + 2 = -0,25
Aqui, o resultado é negativo, então a função está abaixo do eixo x nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área total limitada pela função e pelo eixo x entre x = 0 e x = 2 , precisamos calcular duas integrais:
  1. Área acima do eixo x (de x = 0 a x = 1 ):
A1 = integral0^1 (x^2 - 3x + 2) , dx
  1. Área abaixo do eixo x (de x = 1 a x = 2 ):
A2 = integral1^2 -(x^2 - 3x + 2) , dx
Obs: Multiplicamos por -1 porque a função está abaixo do eixo x nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
  1. Calculando A1 :
A1 = integral0^1 (x^2 - 3x + 2) , dx = [ x^33 - 3x^22 + 2x ]0^1
Substituindo os limites:
A1 = ( 13 - 32 + 2 ) - (0 - 0 + 0) = 13 - 32 + 2 = 13 + 12 = 56
  1. Calculando A2 :
A2 = integral1^2 -(x^2 - 3x + 2) , dx = -integral1^2 (x^2 - 3x + 2) , dx
Primeiro, calculamos a integral sem o sinal negativo:
integral1^2 (x^2 - 3x + 2) , dx = [ x^33 - 3x^22 + 2x ]1^2
Substituindo os limites:
( 83 - 122 + 4 ) - ( 13 - 32 + 2 ) = ( 83 - 6 + 4 ) - ( 13 - 32 + 2 )
Simplificando:
( 83 - 2 ) - ( 13 + 12 ) = 23 - 56 = 46 - 56 = -16
Agora, aplicando o sinal negativo:
A2 = -( -16 ) = 16

Resposta

A área total limitada pelo gráfico da função f(x) = x^2 - 3x + 2 e o eixo x no intervalo de x = 0 a x = 2 é:
A = A1 + A2 = 56 + 16 = 1 unidade de área á

Exercícios relacionados