Em cada item, encontre a área limitada pelo gráfico da função
e o eixo
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área limitada pelo gráfico da função
e o eixo
no intervalo de
de 0 a 2. Isso significa que precisamos calcular a área entre a curva da função e o eixo horizontal (
) nesse intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
. Para isso, vamos encontrar onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
.
Resolvendo a equação:
Podemos fatorar:
Portanto, as raízes são
e
. Isso significa que a função cruza o eixo
nesses pontos.
Passo 3
Agora que sabemos onde a função cruza o eixo
, vamos analisar o sinal de
nos intervalos definidos por essas raízes:
-
De
até : Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,:
Como o resultado é positivo, a função está acima do eixo
nesse intervalo.
-
De
até : Escolhendo:
Aqui, o resultado é negativo, então a função está abaixo do eixo
nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área total limitada pela função e pelo eixo
entre
e
, precisamos calcular duas integrais:
- Área acima do eixo
(de a ):
- Área abaixo do eixo
(de a ):
Obs: Multiplicamos por -1 porque a função está abaixo do eixo
nesse intervalo.
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
- Calculando
:
Substituindo os limites:
- Calculando
:
Primeiro, calculamos a integral sem o sinal negativo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, aplicando o sinal negativo:
Resposta
A área total limitada pelo gráfico da função
e o eixo
no intervalo de
a
é: