1. Seja T o período de um planeta em torno do Sol ; ou seja, T é o tempo necessário para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam 2 a e 2 b.
    (a) Use a parte (d) do Problema 1 para mostrar que T=2 pi a b / h.
    (b) Mostre que h^2G M=e d=b^2a.
    (c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que T^2=4 pi^2G M a^3.

Passo 1

O enunciado trata de um planeta em órbita elíptica de semi-eixos a e b sob a atração gravitacional do Sol de massa M. Chamamos de h o momento angular específico do planeta e de T seu período orbital. Para resolver, vamos usar a lei das áreas ( dot A=(1/2)r^2dottheta), o resultado da parte (d) do Problema 1 que dá a forma polar da órbita
r(theta)=h^2/(GM)1+ecostheta
e a geometria da elipse (relação entre a,b,e).

Passo 2

(a) A lei das áreas diz que
Como o planeta varre a área total da elipse em um período , temos

Passo 3

(b) Da parte (d) do Problema 1 sabemos que a órbita mantém a forma
r(theta)=h^2/(GM)1+ecostheta,
mas também foi deduzido em conicidade que
r(theta)=e,d1+ecostheta
Comparando numeradores, obtemos
h^2GM=e,d

Passo 4

Ainda no item (b), a geometria da elipse mostra que o semieixo menor satisfaz
b^2=a^2(1-e^2)
O semilatus rectum — isto é, a distância do foco à elipse na direção perpendicular ao eixo maior — vale
ell=b^2a
Mas esse ell é justamente o parâmetro e,d do numerador acima. Logo
e,d=b^2a,
e combinando com tfrach^2GM=e,d vem
h^2GM=b^2a

Passo 5

(c) Já temos
T=2pi,a bh e h^2GM=b^2a
Da segunda equação tiramos h=raizGM,b^2a. Substituindo em T:
T =2pi,a braizGM,b^2a =2pi,a bbraizGM/a =2pi,araizaGM =2piraiza^3GM
Elevando ao quadrado:
T^2=4pi^2GM,a^3

Resposta

(a) T=2pi,dfraca bh
(b) dfrach^2G M=e,d=dfracb^2a
(c) T^2=dfrac4pi^2G M,a^3

Exercícios relacionados