- Seja
o período de um planeta em torno do Sol ; ou seja,
é o tempo necessário para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam
e
.
(a) Use a parte (d) do Problema 1 para mostrar que
.
(b) Mostre que
.
(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que
.
(a) Use a parte (d) do Problema 1 para mostrar que
(b) Mostre que
(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que
Passo 1
O enunciado trata de um planeta em órbita elíptica de semi-eixos
e
sob a atração gravitacional do Sol de massa
. Chamamos de
o momento angular específico do planeta e de
seu período orbital. Para resolver, vamos usar a lei das áreas (
), o resultado da parte (d) do Problema 1 que dá a forma polar da órbita
e a geometria da elipse (relação entre
).
Passo 2
(a) A lei das áreas diz que
Como o planeta varre a área total da elipse
em um período
, temos
Passo 3
(b) Da parte (d) do Problema 1 sabemos que a órbita mantém a forma
mas também foi deduzido em conicidade que
Comparando numeradores, obtemos
Passo 4
Ainda no item (b), a geometria da elipse mostra que o semieixo menor satisfaz
O semilatus rectum — isto é, a distância do foco à elipse na direção perpendicular ao eixo maior — vale
Mas esse
é justamente o parâmetro
do numerador acima. Logo
e combinando com
vem
Passo 5
(c) Já temos
Da segunda equação tiramos
. Substituindo em
:
Elevando ao quadrado:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)