Calcular a área entre as curvas f(x)=x^2 e g(x)=2 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a área entre as curvas das funções f(x) = x^2 e g(x) = 2x - x^2 . Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre integrais que ajudam a encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam. Isso acontece quando f(x) = g(x) , ou seja:
x^2 = 2x - x^2
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x onde elas se encontram.

Passo 3

Resolvendo a equação:
x^2 + x^2 - 2x = 0 2x^2 - 2x = 0 2x(x - 1) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 1 . Essas são as interseções dos gráficos das duas funções.

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se encontram em x = 0 e x = 1 , precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de x entre 0 e 1, por exemplo, x = 0.5 , e comparar os valores de f(x) e g(x) :
f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 g(0.5) = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75
Como g(0.5) > f(0.5) , a função g(x) está acima de f(x) no intervalo de 0 a 1.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções g(x) e f(x) de 0 a 1:
Área = integral0^1 [g(x) - f(x)] , dx = integral0^1 [(2x - x^2) - x^2] , dx = integral0^1 (2x - 2x^2) , dx Á
Vamos agora resolver essa integral.

Passo 6

Integrando:
integral (2x - 2x^2) , dx = integral 2x , dx - integral 2x^2 , dx = x^2 - 23x^3
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
[ x^2 - 23x^3 ]0^1 = (1^2 - 23 times 1^3) - (0 - 0) = 1 - 23 = 13

Resposta

A área entre as curvas f(x) = x^2 e g(x) = 2x - x^2 é 13 unidades de área.

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