Exercício 8: Efetue as operações e simplifique:
  1. 1x+2x^2-2 x-6x^2-4
    14-7 xx^3+6 x^2-7 x cdot x^2-4x^2+x-2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos (i) somar as frações
1x + 2x^2-2x - 6x^2-4
e (ii) multiplicar as frações
14-7xx^3+6x^2-7x;cdot;x^2-4x^2+x-2.
O conteúdo é operação com expressões racionais: fatoração, mínimo múltiplo comum (MMC) para soma e cancelamento de fatores para produto.

Passo 2

Fatoramos todos os denominadores:
x^2-2x = x(x-2), x^2-4 = (x-2)(x+2), x^3+6x^2-7x = x(x^2+6x-7) = x(x+7)(x-1), x^2+x-2 = (x+2)(x-1)

Passo 3

Para a soma, o MMC dos denominadores ,x,;x(x-2),;(x-2)(x+2), é
x,(x-2),(x+2)
Reescrevendo cada fração sobre esse denominador:
1x = (x-2)(x+2)x(x-2)(x+2), 2x(x-2) = 2(x+2)x(x-2)(x+2), 6(x-2)(x+2) = 6xx(x-2)(x+2)
Logo a soma é
(x-2)(x+2) + 2(x+2) - 6xx(x-2)(x+2)

Passo 4

Expandindo o numerador:
(x^2-4) + (2x+4) - 6x = x^2 -4 +2x+4 -6x = x^2 -4x
Então
x^2-4xx(x-2)(x+2) = x(x-4)x(x-2)(x+2) = x-4(x-2)(x+2)

Passo 5

Para o produto, escrevemos cada fator:
14-7xx(x+7)(x-1) ;cdot;(x-2)(x+2)(x+2)(x-1)
Cortamos os fatores comuns (x+2) e (x-1):
14-7xx(x+7);cdot;(x-2)
Além disso 14-7x = -7(x-2), logo o produto vira
-7(x-2)x(x+7);(x-2) = -7,(x-2)^2x(x+7)

Resposta

  1. x-4(x-2)(x+2)
  2. -7(x-2)^2x(x+7)

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