Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraexemplo ou corrija.
Se f^prime(1)>0, então f(1)>0.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma função f, a condição
f'(1)>0
implicaria
f(1)>0
O conteúdo aqui é interpretação do significado de derivada em um ponto e a diferença entre informação sobre a “inclinação” da reta tangente e o valor da própria função.

Passo 2

Lembrando a teoria, o valor de ,f'(1) indica apenas a inclinação da reta tangente a f em x=1. Ter inclinação positiva em x=1 significa que, localmente, f está subindo ao passar por x=1, mas isso não diz nada sobre o sinal de f(1).

Passo 3

Para dar um contraexemplo, basta escolher uma função cujo valor em 1 seja negativo (ou zero), mas cuja derivada em 1 seja positiva. Um exemplo simples é
f(x)=x-2
Então
f'(x)=1Longrightarrow f'(1)=1>0,
porém
f(1)=1-2=-1<0

Passo 4

Portanto a implicação é falsa, pois já encontramos uma função que satisfaz f'(1)>0 mas não satisfaz f(1)>0.

Resposta

Falso. Contraexemplo: f(x)=x-2, em que f'(1)=1>0 mas f(1)=-1.

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