Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
ccc1 & 4 & 5 0 & 3 / 4 & 6 0 & 0 & 1 / 2

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache os autovalores e autovetores da matriz
A=1 & 4 & 5 0 & tfrac34 & 6 0 & 0 & tfrac12
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores de matrizes (aqui triangular superior). Vamos usar que os autovalores de matriz triangular são as entradas da diagonal e que os autovetores satisfazem (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Como a matriz é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo temos
lambda1=1, lambda2=tfrac34, lambda3=tfrac12

Passo 3

Para lambda1=1 montamos (A-I)v=0. Calculando
A-I= 0 & 4 & 5 0 & -tfrac14 & 6 0 & 0 & -tfrac12 , v=xyz
Da terceira linha vem $ -\tfrac12 z=0$ logo -tfrac12 z=0. Da primeira linha vem z=0 logo 4y+5z=0. O y=0 fica livre, escolhemos x. Assim um autovetor é
x=1

Passo 4

Para lambda2=tfrac34 montamos (A-tfrac34 I)v=0. Calculando
A-tfrac34 I= tfrac14 & 4 & 5 0 & 0 & 6 0 & 0 & -tfrac14
Da terceira linha vem -tfrac14 z=0 logo z=0. Da primeira linha tfrac14 x+4y=0 ou x=-16y. Tomando y=1, obtemos o autovetor
v2=-1610

Passo 5

Para lambda3=tfrac12 montamos (A-tfrac12 I)v=0. Calculando
A-tfrac12 I= tfrac12 & 4 & 5 0 & tfrac14 & 6 0 & 0 & 0
Da segunda linha vem tfrac14 y+6z=0 logo y=-24z. Da primeira linha tfrac12 x+4y+5z=0 x=-8y-10z=182z. Tomando z=1, um autovetor é
v3=182-241

Resposta

Os autovalores são
lambda1=1,;lambda2=tfrac34,;lambda3=tfrac12.
Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
v1=(1,0,0)^T,;v2=(-16,1,0)^T,;v3=(182,-24,1)^T.

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