Seja beta=((1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1)). Obtenha
(1,2,3)beta cdot(3,2,-1)beta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o produto escalar em R^3 entre os vetores cujas coordenadas na base beta=((1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1)) são (1,2,3)beta e (3,2,-1)beta. Vamos usar mudança de base para a base canônica e em seguida aplicar a definição de produto escalar em R^3, que é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, convertemos (1,2,3)beta para coordenadas canônicas. Chamando v1=(1,1,-1), v2=(-1,1,1) e v3=(1,-1,1), temos:
x=1,v1+2,v2+3,v3 =(1,1,-1)+2(-1,1,1)+3(1,-1,1) =(1-2+3,;1+2-3,;-1+2+3) =(2,0,4)

Passo 3

Agora, convertemos (3,2,-1)beta para a base canônica:
y=3,v1+2,v2-1,v3 =3(1,1,-1)+2(-1,1,1)-1(1,-1,1) =(3-2-1,;3+2+1,;-3+2-1) =(0,6,-2)

Passo 4

Por fim, aplicamos a definição de produto escalar em R^3:
xcdot y = (2,0,4)cdot(0,6,-2) = 2cdot0 + 0cdot6 + 4cdot(-2) = -8

Resposta

-8

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