Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
ll0 & 1 1 & 0

Passo 1

O enunciado pede para expressar a matriz A na forma A = X Lambda X^-1, ou seja, diagonalizar A. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes, que exige encontrar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Vamos achar os autovalores de A resolvendo o polinômio característico det(A - lambda I) = 0.
A - lambda I = 0 - lambda & 1 1 & 0 - lambda = -lambda & 1 1 & -lambda
Logo,
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - 1cdot1 = lambda^2 - 1
Resolvendo lambda^2 - 1 = 0 dá os autovalores lambda = 1 e lambda = -1.

Passo 3

Para cada autovalor, encontramos um autovetor não nulo que satisfaça (A - lambda I)v = 0.
  • Para lambda = 1:
(A - I)v = -1 & 1 1 & -1v = 0
Isso implica -v1 + v2 = 0, ou seja, v1 = v2. Podemos escolher o autovetor
v^(1) = 1 1
  • Para lambda = -1:
(A + I)v = 1 & 1 1 & 1v = 0
Isso dá v1 + v2 = 0, ou seja, v1 = -v2. Escolhemos
v^(2) = 1 -1

Passo 4

Agora montamos a matriz de autovetores X e a matriz diagonal Lambda. Colocamos v^(1) e v^(2) como colunas de X:
X = 1 & 1 1 & -1,
e
Lambda = 1 & 0 0 & -1
Verifica-se que det(X) = -2 neq 0, então X é invertível e de fato
A = XLambda X^-1

Resposta

A decomposição é
X = 1 & 1 1 & -1, Lambda = 1 & 0 0 & -1

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