Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
llll1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 1

Resumo: O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 0 & 00 & 0 & 0 & 00 & 0 & 0 & 00 & 0 & 0 & 1.
Conteúdo: teoria de autovalores e autovetores, especialmente para matrizes diagonais.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, a gente monta o polinômio característico usando det(A - lambda I) = 0.

Passo 3

Como A é diagonal, o determinante é o produto dos elementos diagonais de A - lambda I:
det(A - lambda I) = (1-lambda)cdot(-lambda)cdot(-lambda)cdot(1-lambda) = lambda^2(1-lambda)^2
Igualando a zero, temos os autovalores.

Passo 4

De lambda^2(1-lambda)^2 = 0 seguem-se os autovalores:
  • lambda = 0 com multiplicidade algébrica 2,
  • lambda = 1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Agora achamos os autovetores. Primeiro para lambda = 1, resolvemos (A - I)v = 0. O sistema fica:
(1-1)x1 = 0 -1,x2 = 0 -1,x3 = 0 (1-1)x4 = 0
Dessa forma x2 = x3 = 0 e x1, x4 livres. Uma base de autovetores é:
v^(1) = 1000, v^(2) = 0001

Passo 6

Agora para lambda = 0, resolvemos A v = 0, isto é:
x1 = 0 x2 livre x3 livre x4 = 0
Logo x1 = x4 = 0 e x2, x3 livres. Uma base de autovetores é:
w^(1) = 0100, w^(2) = 0010

Resposta

Autovalores: 0 (multiplicidade 2) e 1 (multiplicidade 2).
Autovetores:
  • Para lambda = 1: vetores proporcionais a (1,0,0,0)^T e (0,0,0,1)^T.
  • Para lambda = 0: vetores proporcionais a (0,1,0,0)^T e (0,0,1,0)^T.

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