Seja beta=((1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1)). Obtenha

Passo 1

Temos a base beta=(b1,b2,b3) com b1=(1,1,-1), b2=(-1,1,1) e b3=(1,-1,1). O enunciado pede o produto escalar lang<= u,,vtimes wrang<=, onde u=(1,-1,1), v=(3,1,5)beta e w=(-1,1,2)beta. Vamos usar mudança de base, produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Convertendo v=(3,1,5)beta para coordenadas canônicas:
v = 3b1 + 1b2 + 5b3 = 3(1,1,-1) + 1(-1,1,1) + 5(1,-1,1)
Somando componente a componente, obtemos v=(7,-1,3).

Passo 3

Convertendo w=(-1,1,2)beta para coordenadas canônicas:
w = -1b1 + 1b2 + 2b3 = -1(1,1,-1) + 1(-1,1,1) + 2(1,-1,1)
Isso dá w=(0,-2,4).

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial vtimes w pela definição de determinante:
v times w = i & j & k 7 & -1 & 3 0 & -2 & 4 = ( (-1)cdot4 - 3cdot(-2),,-(7cdot4 - 3cdot0),,7cdot(-2) - (-1)cdot0 )
Portanto vtimes w=(2,-28,-14).

Passo 5

Por fim, fazemos o produto escalar com u=(1,-1,1):
lang<= u,,vtimes wrang<= = 1cdot2 + (-1)cdot(-28) + 1cdot(-14) = 2 + 28 - 14 = 16

Resposta

16

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