Mostre que existem b1, ldots, b4 tal que o sistema linear A X=B é impossivel, onde
X=(c x1 x2 x3 ) B=(c b1 vdots b4 )
(Sugestão: olhe o subespaço de R^4 gerado pelos vetores cujas coordenadas são as colunas de A.) Generalize para sistemas com m equações e n incógnitas com n.
Passo 1
Estamos com a matriz A de tamanho 4×3 e queremos mostrar que há vetores B em ℝ^4 tais que A
X = B não tem solução. O conteúdo envolvido é espaço coluna (subespaço gerado pelas colunas de A) e a ideia de dimensão de subespaço. Para resolver, vamos usar que um subespaço próprio de ℝ^4 não pode coincidir com todo ℝ^4.
Passo 2
Denotemos por Col(A) o subespaço de ℝ^4 gerado pelas 3 colunas de A, digamos v₁, v₂ e v₃. Por definição,
[ Col(A)=\span{v_1,v_2,v_3},
e sabemos que um conjunto de 3 vetores em ℝ^4 gera um subespaço de dimensão no máximo 3. Ou seja,
diml(Col(A)r)<=3<4
Passo 3
Como Col(A) é um subespaço próprio de ℝ^4 (dimensão menor que 4), ele não pode ser todo ℝ^4. Logo existe pelo menos um vetor
Uma forma construtiva de ver isso é completar binR^4setminus Col(A) a uma base de ℝ^4, obtendo um vetor v1,v2,v3 fora de w, e então escolher
Col(A)
Passo 4
Para esse B, não existe combinação linear x1v1+x2v2+x3v3=B, ou seja, A
X = B não tem solução.
O mesmo raciocínio vale para qualquer sistema com m equações e n incógnitas, se n. As colunas de uma matriz m×n geram um subespaço de dimensão ≤n<m, que é próprio em ℝ^m. Portanto sempre podemos escolher B fora desse subespaço, tornando o sistema impossível.
Resposta
Como as colunas de A geram um subespaço de dimensão no máximo 3 em ℝ^4, existe vetor B em ℝ^4 que não está nesse subespaço, e para esse B o sistema A X = B não admite solução. De forma geral, para m×n com n<m, a imagem tem dimensão ≤n<m, há sempre B fora desse subespaço e o sistema será impossível.