Em cada item, encontre os autovalores e escreva as bases dos autoespaços formados por autovetores.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar os autovalores e, para cada autovalor, uma base do autoespaço (autovetores) da matriz
. O conteúdo é Autovalores e Autovetores: vamos usar o polinômio característico
e depois resolver
para cada
.
Passo 2
Como
é triangular (os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero), o polinômio característico é o produto dos termos
e
. Logo,
e os autovalores são
Passo 3
Para
, montamos
e resolvemos
:
O sistema é
Logo todo autovetor é da forma
. Uma base para esse autoespaço é
.
Passo 4
Para
, montamos
e resolvemos
:
O sistema é
Então
e
é livre, ou seja, vetores
. Uma base é
.
Resposta
Os autovalores são
e
. As bases dos autoespaços são:
Para :
.
Para :
.
Para
Para