Em cada item, encontre os autovalores e escreva as bases dos autoespaços formados por autovetores.
cc3 & 0 8 & -1

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar os autovalores e, para cada autovalor, uma base do autoespaço (autovetores) da matriz A=3 & 08 & -1. O conteúdo é Autovalores e Autovetores: vamos usar o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e depois resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Como A é triangular (os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero), o polinômio característico é o produto dos termos (a11-lambda) e (a22-lambda). Logo,
det(A-lambda I)=(3-lambda)(-1-lambda)=0
e os autovalores são
lambda1=3, lambda2=-1

Passo 3

Para lambda1=3, montamos A-3I e resolvemos (A-3I)v=0:
A-3I=3-3 & 08 & -1-3=0 & 08 & -4
O sistema é
0cdot x+0cdot y=0,8x-4y=0Longrightarrow 2x-y=0 (y=2x)
Logo todo autovetor é da forma (x,2x)=x(1,2). Uma base para esse autoespaço é (1,2).

Passo 4

Para lambda2=-1, montamos A+I e resolvemos (A+I)v=0:
A-(-1)I=A+I=3+1 & 08 & -1+1=4 & 08 & 0
O sistema é
4x+0y=0Longrightarrow x=0,8x+0y=0 (sempre 0=0)
Então x=0 e y é livre, ou seja, vetores (0,y)=y(0,1). Uma base é (0,1).

Resposta

Os autovalores são lambda1=3 e lambda2=-1. As bases dos autoespaços são:
Para lambda1=3: (1,2).
Para lambda2=-1: (0,1).

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