Ex. 7) Faça a multiplicação A v, confirme que v é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente. lll4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 e l1 2 1

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar a matriz A pelo vetor v, verificar se v é autovetor de A e determinar o autovalor associado. O conteúdo envolve autovalores e autovetores, e vamos usar a definição de que v é autovetor se Av = lambda v.

Passo 2

Vamos calcular o produto Av aplicando a multiplicação de matriz por vetor.
A v = 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 1 2 1 = 4cdot1 + 0cdot2 + 1cdot1 2cdot1 + 3cdot2 + 2cdot1 1cdot1 + 0cdot2 + 4cdot1 = 5 10 5

Passo 3

Observamos que 5 10 5 = 5 1 2 1. Isso mostra que Av = 5v, ou seja, a ação de A em v simplesmente multiplica v por 5, confirmando que v é autovetor de A.

Passo 4

A constante de proporcionalidade é o autovalor correspondente, portanto lambda = 5.

Resposta

Av = 5 10 5, logo v é autovetor de A com autovalor lambda = 5.

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