Seja A=a, b, c, d, ldots, z o conjunto das letras
a) Prove que o conjunto das funções complexas C(A)=f: f: A C é espaço vetorial sobre os complexos.
b) Ache uma base para esse espaço, visto como espaço vetorial sobre os complexos. Qual a dimensão desse espaço sobre os complexos?
c) Prove que o subconjunto das funções D subset C(A) que se anulam nas letras d, a, n, i, e, l formam um espaço vetorial. Ache uma base para esse espaço.
d) Dado sigma uma função sigma: A A. Seja tildesigma: C(A) C(A) definida por tildesigma(f(x)=f(sigma(x). Prove que tildesigma é uma transformação linear.
e) Prove que se sigma: A A é bijetiva então tildesigma é um isomorfismo de C(A) C(A)
f) Seja Sigma o conjunto de todas as transformações lineares provenientes de uma função sigma : A A ou seja.
Sigma=T in L(C(A): T(f(x)=f(sigma(x)): forall x in A, para alguma sigma
Qual a dimensão de Sigma ?

Passo 1

O conjunto ℂ(A) é definido como todas as funções f: A→ℂ, com A tendo 26 elementos.

Passo 2

Para mostrar que ℂ(A) é espaço vetorial sobre ℂ basta verificar as propriedades usuais de soma e multiplicação por escalar. Se f,g∈ℂ(A) e α∈ℂ, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x) e (αf)(x)=α·f(x). É imediato que f+g∈ℂ(A), αf∈ℂ(A), há elemento zero 0(x)=0 e inverso (−f)(x)=−f(x), e as leis associativas, comutativas e distributivas valem ponto a ponto.

Passo 3

Para encontrar uma base, para cada letra x∈A definimos ε_x:A→ℂ por ε_x(y)=1 se y=x e ε_x(y)=0 se y≠x. Então {ε_x: x∈A} gera ℂ(A) e é linearmente independente. Logo é base e \
\dim_ℂℂ(A)=|A|=26.

Passo 4

O subconjunto D de funções que se anulam em {d,a,n,i,e,l} é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e contém a função zero, portanto é subespaço.

Passo 5

Uma base de D é {ε_x: x∈A{d,a,n,i,e,l}}. Assim \
\dim_ℂD=26−6=20.

Passo 6

Para σ:A→A e \tildeσ(f)=f∘σ, temos \
\widetildeσ(f+g)(x)= (f+g)(σ(x))=f(σ(x))+g(σ(x))=\widetildeσ(f)(x)+\widetildeσ(g)(x)\
\widetildeσ(αf)(x)=α·f(σ(x))=α\widetildeσ(f)(x).\
Logo \tildeσ é transformação linear.

Passo 7

Se σ é bijetiva, então σ⁻¹ existe, e (\widetildeσ)⁻¹=\widetilde{σ⁻¹}, pois
(f∘σ)∘σ⁻¹=f. Logo \tildeσ é isomorfismo.

Passo 8

O conjunto Σ das transformações {\widetildeσ:σ:A→A} não é fechado sob soma (a soma de composições não é composição), logo não é subespaço de ℒ(ℂ(A)) e não tem dimensão vetorial bem definida como subespaço.

Resposta

a) ℂ(A) com soma e escalar atua ponto a ponto satisfaz as leis de espaço vetorial. b) Uma base é {ε_x:x∈A}, com ε_x(y)=δ_{xy}; dimensão 26. c) O subespaço D={f:f(d)=f(a)=f(n)=f(i)=f(e)=f(l)=0} tem base {ε_x:x∉{d,a,n,i,e,l}}; dimensão 20. d) \widetildeσ(f)=f∘σ é linear. e) Se σ é bijetiva, \widetildeσ⁻¹=\widetilde{σ⁻¹}, logo isomorfismo. f) Σ não é subespaço de ℒ(ℂ(A)), portanto não tem dimensão vetorial.

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