Seja
o conjunto das letras
a) Prove que o conjunto das funções complexas
é espaço vetorial sobre os complexos.
b) Ache uma base para esse espaço, visto como espaço vetorial sobre os complexos. Qual a dimensão desse espaço sobre os complexos?
c) Prove que o subconjunto das funções
que se anulam nas letras
formam um espaço vetorial. Ache uma base para esse espaço.
d) Dado
uma função
. Seja
definida por
. Prove que
é uma transformação linear.
e) Prove que se
é bijetiva então
é um isomorfismo de
f) Seja
o conjunto de todas as transformações lineares provenientes de uma função
:
ou seja.
Qual a dimensão de
?
a) Prove que o conjunto das funções complexas
b) Ache uma base para esse espaço, visto como espaço vetorial sobre os complexos. Qual a dimensão desse espaço sobre os complexos?
c) Prove que o subconjunto das funções
d) Dado
e) Prove que se
f) Seja
Passo 1
O conjunto ℂ(A) é definido como todas as funções f: A→ℂ, com A tendo 26 elementos.
Passo 2
Para mostrar que ℂ(A) é espaço vetorial sobre ℂ basta verificar as propriedades usuais de soma e multiplicação por escalar. Se f,g∈ℂ(A) e α∈ℂ, definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x) e (αf)(x)=α·f(x). É imediato que f+g∈ℂ(A), αf∈ℂ(A), há elemento zero 0(x)=0 e inverso (−f)(x)=−f(x), e as leis associativas, comutativas e distributivas valem ponto a ponto.
Passo 3
Para encontrar uma base, para cada letra x∈A definimos ε_x:A→ℂ por ε_x(y)=1 se y=x e ε_x(y)=0 se y≠x. Então {ε_x: x∈A} gera ℂ(A) e é linearmente independente. Logo é base e \
\dim_ℂℂ(A)=|A|=26.
\dim_ℂℂ(A)=|A|=26.
Passo 4
O subconjunto D de funções que se anulam em {d,a,n,i,e,l} é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e contém a função zero, portanto é subespaço.
Passo 5
Uma base de D é {ε_x: x∈A{d,a,n,i,e,l}}. Assim \
\dim_ℂD=26−6=20.
\dim_ℂD=26−6=20.
Passo 6
Para σ:A→A e \tildeσ(f)=f∘σ, temos \
\widetildeσ(f+g)(x)= (f+g)(σ(x))=f(σ(x))+g(σ(x))=\widetildeσ(f)(x)+\widetildeσ(g)(x)\
\widetildeσ(αf)(x)=α·f(σ(x))=α\widetildeσ(f)(x).\
Logo \tildeσ é transformação linear.
\widetildeσ(f+g)(x)= (f+g)(σ(x))=f(σ(x))+g(σ(x))=\widetildeσ(f)(x)+\widetildeσ(g)(x)\
\widetildeσ(αf)(x)=α·f(σ(x))=α\widetildeσ(f)(x).\
Logo \tildeσ é transformação linear.
Passo 7
Se σ é bijetiva, então σ⁻¹ existe, e (\widetildeσ)⁻¹=\widetilde{σ⁻¹}, pois
(f∘σ)∘σ⁻¹=f. Logo \tildeσ é isomorfismo.
(f∘σ)∘σ⁻¹=f. Logo \tildeσ é isomorfismo.
Passo 8
O conjunto Σ das transformações {\widetildeσ:σ:A→A} não é fechado sob soma (a soma de composições não é composição), logo não é subespaço de ℒ(ℂ(A)) e não tem dimensão vetorial bem definida como subespaço.
Resposta
a) ℂ(A) com soma e escalar atua ponto a ponto satisfaz as leis de espaço vetorial. b) Uma base é {ε_x:x∈A}, com ε_x(y)=δ_{xy}; dimensão 26. c) O subespaço D={f:f(d)=f(a)=f(n)=f(i)=f(e)=f(l)=0} tem base {ε_x:x∉{d,a,n,i,e,l}}; dimensão 20. d) \widetildeσ(f)=f∘σ é linear. e) Se σ é bijetiva, \widetildeσ⁻¹=\widetilde{σ⁻¹}, logo isomorfismo. f) Σ não é subespaço de ℒ(ℂ(A)), portanto não tem dimensão vetorial.