Seja E um espaço vetorial e sejam u e v in E. Provar que
u e v são li Rightarrow u+v e u-v são li ãã

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial E, se dois vetores u e v são linearmente independentes, então os vetores u+v e u-v também o são. O conteúdo central é a definição de independência linear: uma combinação linear igual ao vetor zero só pode ocorrer com todos os coeficientes nulos.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de independência linear para dois vetores w₁ e w₂: eles são l.i. se, sempre que αw₁+βw₂=0, então α=0 e β=0.

Passo 3

Para aplicar essa definição aos vetores u+v e u-v, consideramos uma combinação linear arbitrária deles igual ao vetor zero:
Escrevemos
α(u+v)+β(u−v)=0
Agora expandimos a combinação linear:
αu+αv+βu−βv=(α+β)u+(α−β)v=0

Passo 4

Como u e v são l.i. por hipótese, a única forma de (α+β)u+(α−β)v ser o vetor zero é ter as componentes escalares nulas:
α+β=0
α−β=0

Passo 5

Resolvendo esse sistema de duas equações em α e β, somamos as equações para obter 2α=0, logo α=0. Substituindo em α+β=0 temos β=0.
Como chegamos a α=0 e β=0, concluímos pela definição que u+v e u-v são linearmente independentes.

Resposta

u+v e u−v são linearmente independentes

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