Seja
um espaço vetorial e sejam
e
. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial E, se dois vetores u e v são linearmente independentes, então os vetores u+v e u-v também o são. O conteúdo central é a definição de independência linear: uma combinação linear igual ao vetor zero só pode ocorrer com todos os coeficientes nulos.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de independência linear para dois vetores w₁ e w₂: eles são l.i. se, sempre que αw₁+βw₂=0, então α=0 e β=0.
Passo 3
Para aplicar essa definição aos vetores u+v e u-v, consideramos uma combinação linear arbitrária deles igual ao vetor zero:
Escrevemos
Escrevemos
Agora expandimos a combinação linear:
Passo 4
Como u e v são l.i. por hipótese, a única forma de (α+β)u+(α−β)v ser o vetor zero é ter as componentes escalares nulas:
Passo 5
Resolvendo esse sistema de duas equações em α e β, somamos as equações para obter 2α=0, logo α=0. Substituindo em α+β=0 temos β=0.
Como chegamos a α=0 e β=0, concluímos pela definição que u+v e u-v são linearmente independentes.
Como chegamos a α=0 e β=0, concluímos pela definição que u+v e u-v são linearmente independentes.
Resposta
u+v e u−v são linearmente independentes