Em cada item, encontre os autovalores e escreva as bases dos autoespaços formados por autovetores.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e as bases dos autoespaços (eigenespaços) de
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e obtenção de autovetores resolvendo
(A-lambda I)v=0 .
Passo 2
Para achar o polinômio característico, calculamos
Desenvolvendo pela primeira linha, obtemos
Fatorando
p(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)(3-lambda) surge
Passo 3
Da fatoração, os autovalores são
Passo 4
Para
lambda=1 , resolvemos
(A-I)v=0 , ou seja
As equações dão
x=0 ,
z=-3x=0 , e
y livre. Logo um autovetor não nulo é
(0,1,0) .
Passo 5
Para
lambda=2 , resolvemos
(A-2I)v=0 , isto é
Das equações vem
z=-2x e
y=-2x , com
x livre. Um autovetor é
(1,-2,-2) .
Passo 6
Para
lambda=3 , resolvemos
(A-3I)v=0 , ou
Aqui
z=-x e
y=-x , com
x livre. Um autovetor é
(1,-1,-1) .
Resposta
Os autovalores são
lambda=1,2,3 .
As bases dos autoespaços são:
Paralambda=1 : {(0,1,0)},
paralambda=2 : {(1,-2,-2)},
paralambda=3 : {(1,-1,-1)}.
As bases dos autoespaços são:
Para
para
para