Em cada item, encontre os autovalores e escreva as bases dos autoespaços formados por autovetores.
ccc4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e as bases dos autoespaços (eigenespaços) de
A=4&0&1-2&1&0-2&0&1
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e obtenção de autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, calculamos
p(lambda)=det(A-lambda I)=det4-lambda&0&1-2&1-lambda&0-2&0&1-lambda
Desenvolvendo pela primeira linha, obtemos
p(lambda)=(4-lambda)(1-lambda)^2+2(1-lambda)
Fatorando p(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)(3-lambda) surge

Passo 3

Da fatoração, os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3

Passo 4

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, ou seja
3&0&1-2&0&0-2&0&0xyz=0
As equações dão x=0, z=-3x=0, e y livre. Logo um autovetor não nulo é (0,1,0).

Passo 5

Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0, isto é
2&0&1-2&-1&0-2&0&-1xyz=0
Das equações vem z=-2x e y=-2x, com x livre. Um autovetor é (1,-2,-2).

Passo 6

Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0, ou
1&0&1-2&-2&0-2&0&-2xyz=0
Aqui z=-x e y=-x, com x livre. Um autovetor é (1,-1,-1).

Resposta

Os autovalores são
lambda=1,2,3.
As bases dos autoespaços são:
Para lambda=1: {(0,1,0)},
para lambda=2: {(1,-2,-2)},
para lambda=3: {(1,-1,-1)}.

Exercícios relacionados