Em cada item, encontre os autovalores e escreva as bases dos autoespaços formados por autovetores.
ccc3 & 0 & -5 15 & -1 & 0 1 & 1 & -2

Passo 1

Temos a matriz A abaixo e queremos calcular os autovalores e bases dos autoespaços formados por autovetores. O conteúdo é autovalores e autoespaços; vamos precisar do polinômio característico det(A-lambda I) e resolver sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Começamos montando A-lambda I e calculando o determinante.
A-lambda I=3-lambda & 0 & -5 tfrac15 & -1-lambda & 0 1 & 1 & -2-lambda
Expandindo por cofactores, chega-se a
det(A-lambda I)=-lambda(lambda^2-2)
Logo, os autovalores são lambda1=0, lambda2=raiz2 e lambda3=-raiz2.

Passo 3

Para lambda=0, resolvemos
A v=0
que equivale ao sistema
$$
3x-5z=0,\
\tfrac15 x -y=0,\
x+y-2z=0.
$$
Da segunda equação vem 3x-5z=0, tfrac15 x -y=0, x+y-2z=0 e da primeira y=tfrac15 x. Substituindo na terceira confirma-se que vale para todo x=tfrac53 z. Escolhendo z para evitar frações, obtemos o autovetor z=3.

Passo 4

Para lambda=raiz2, resolvemos
(A-raiz2 I)v=0,
isto é,
$$
(3-\sqrt2)x-5z=0,\
\tfrac15 x-(1+\sqrt2)y=0,\
x+y-2z-\sqrt2 z=0.
$$
Dessa primeira equação vem (3-raiz2)x-5z=0, tfrac15 x-(1+raiz2)y=0, x+y-2z-raiz2 z=0 . Da segunda vem x=tfrac53-raiz2z=tfrac5(3+raiz2)7z. A terceira confirma a consistência. Escolhendo y=tfrac15(1+raiz2)x=tfrac2raiz2-17z, obtemos o autovetor z=7.

Passo 5

Para lambda=-raiz2, resolvemos
(A+raiz2 I)v=0,
isto é,
$$
(3+\sqrt2)x-5z=0,\
\tfrac15 x-(1-\sqrt2)y=0,\
x+y-2z+\sqrt2 z=0.
$$
Da primeira equação vem (3+raiz2)x-5z=0, tfrac15 x-(1-raiz2)y=0, x+y-2z+raiz2 z=0 . Da segunda vem x=tfrac53+raiz2z=tfrac5(3-raiz2)7z. A terceira confirma a consistência. Escolhendo y=tfrac15(1-raiz2)x= -tfrac1+2raiz27z, obtemos o autovetor z=7.

Resposta

Os autovalores são 0, raiz2 e -raiz2. Bases dos autoespaços:
E_{0}=\mathrm{span}{(5,1,3)},
E_{\sqrt2}=\mathrm{span}{(15+5\sqrt2,,2\sqrt2-1,,7)},
E_{-\sqrt2}=\mathrm{span}{(15-5\sqrt2,,-1-2\sqrt2,,7)}.

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