As familias seguintes são geradora do espaço
? Se a familia não é geradora, qual é o espaço gerado?
em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a família {(1,1),(2,−1)} gera o espaço E=ℝ². O conteúdo é combinação linear e espaço gerado; vamos precisar montar um sistema que mostre se qualquer vetor (x,y)∈ℝ² pode ser escrito como combinação desses geradores.
Passo 2
Suponha que exista scaláres a e b tais que a(1,1)+b(2,−1)=(x,y). Isso gera o sistema:
Resolvendo, subtraia a segunda equação da primeira: (a+2b)−(a−b)=x−y ⇒3b=x−y ⇒ b=(x−y)/3. Substitua em a−b=y ⇒ a=y+b ⇒ a=y+(x−y)/3=(x+2y)/3. Como para todo (x,y) existe solução única (a,b), qualquer vetor de ℝ² cai no span.
Passo 3
Concluímos que o subespaço gerado tem dimensão 2, igual à dimensão de ℝ². Logo, a família é linearmente independente e gera todo E.
Resposta
A família gera o espaço E, ou seja, Span{(1,1),(2,−1)}=ℝ².