As familias seguintes são geradora do espaço E ? Se a familia não é geradora, qual é o espaço gerado?
((1,1),(2,-1)) em E=R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a família {(1,1),(2,−1)} gera o espaço E=ℝ². O conteúdo é combinação linear e espaço gerado; vamos precisar montar um sistema que mostre se qualquer vetor (x,y)∈ℝ² pode ser escrito como combinação desses geradores.

Passo 2

Suponha que exista scaláres a e b tais que a(1,1)+b(2,−1)=(x,y). Isso gera o sistema:
a+2b=x a−b=y
Resolvendo, subtraia a segunda equação da primeira: (a+2b)−(a−b)=x−y ⇒3b=x−y ⇒ b=(x−y)/3. Substitua em a−b=y ⇒ a=y+b ⇒ a=y+(x−y)/3=(x+2y)/3. Como para todo (x,y) existe solução única (a,b), qualquer vetor de ℝ² cai no span.

Passo 3

Concluímos que o subespaço gerado tem dimensão 2, igual à dimensão de ℝ². Logo, a família é linearmente independente e gera todo E.

Resposta

A família gera o espaço E, ou seja, Span{(1,1),(2,−1)}=ℝ².

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