Encontre uma matriz
que diagonalize
e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz P que diagonalize a matriz
O conteúdo é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular autovalores e autovetores.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0 . Como A é triangular superior, temos
Logo os autovalores são
lambda1=2 (multiplicidade 1) e
lambda2=3 (multiplicidade 2).
Passo 3
Agora calculamos os autovetores resolvendo
(A-lambda I)v=0 para cada
lambda .
Paralambda=2 :
Para
Isso gera as equações
Logo
y=z=0 e
x livre. Um autovetor é
v1=(1,0,0)^T .
Passo 4
Para
lambda=3 :
A única equação não-trivial é
E
y é livre. Como a multiplicidade geométrica é 2, podemos escolher dois autovetores independentes:
Passo 5
Como temos três autovetores independentes, a matriz é diagonalizável. Tomamos
Pela construção,
$$P^{-1}AP=
P^-1AP=2&0&00&3&00&0&3 .
$$
Resposta
Uma escolha de P que diagonaliza A é:
E o produto
P^-1AP é a matriz diagonal: