Encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P^-1 A P.
ccc2 & 0 & -2 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz P que diagonalize a matriz
A=2 & 0 & -2 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3
O conteúdo é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular autovalores e autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Como A é triangular superior, temos
det(A-lambda I)=(2-lambda)(3-lambda)(3-lambda)=0
Logo os autovalores são lambda1=2 (multiplicidade 1) e lambda2=3 (multiplicidade 2).

Passo 3

Agora calculamos os autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0 para cada lambda.
Para lambda=2:
A-2I=0 & 0 & -2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Isso gera as equações
-2z=0, y=0, z=0
Logo y=z=0 e x livre. Um autovetor é v1=(1,0,0)^T.

Passo 4

Para lambda=3:
A-3I=-1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
A única equação não-trivial é
-x-2z=0implies x=-2z
E y é livre. Como a multiplicidade geométrica é 2, podemos escolher dois autovetores independentes:
v2=(0,1,0)^T, v3=(-2,0,1)^T

Passo 5

Como temos três autovetores independentes, a matriz é diagonalizável. Tomamos
P=l[v1;v2;v3r]=1 & 0 & -20 & 1 & 00 & 0 & 1
Pela construção,
$$P^{-1}AP= P^-1AP=2&0&00&3&00&0&3 .
$$

Resposta

Uma escolha de P que diagonaliza A é:
P=1 & 0 & -2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
E o produto P^-1AP é a matriz diagonal:
P^-1AP=2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3

Exercícios relacionados