Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada.
r(t)=(e^t cos t, e^t sen t), 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=l(e^tcos t,;e^tsin tr), 0<= t<=2
e pede o comprimento de arco. Para isso, usamos a fórmula do comprimento de arco de curvas paramétricas:
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos r'(t) componente a componente:
ddtl(e^tcos tr)=e^t(cos t-sin t), ddtl(e^tsin tr)=e^t(sin t+cos t)
Logo,
r'(t)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t)r)

Passo 3

Agora encontramos a norma de r'(t):
l|r'(t)r| =raize^2t(cos t-sin t)^2+e^2t(sin t+cos t)^2 =e^traiz(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2
Observando que
(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2=2,
segue
l|r'(t)r|=e^traiz2=raiz2,e^t

Passo 4

Substituímos em L:
L=integral0^2raiz2,e^t,dt =raiz2integral0^2e^t,dt =raiz2l[e^tr]0^2 =raiz2,(e^2-1)

Resposta

L=raiz2,(e^2-1).

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