Determine as equações vetorial e paramétricas da reta tangente à hélice com equações paramétricas
x=2 cos t, y=sen t e z=t
no ponto p=(0,1, pi / 2)

Passo 1

O enunciado define a hélice por
r(t) = (2cos t,;sin t,;t)
e pede a reta tangente no ponto p=(0,1,pi/2). Vamos achar o parâmetro t0 correspondente a p, depois calcular o vetor tangente r'(t0) e, por fim, escrever a equação vetorial e as equações paramétricas da reta.

Passo 2

Para encontrar t0 tal que r(t0)=p, igualamos componente a componente. Da componente x:
2cos t0 = 0
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cos t0 = 0
t0 = pi2 + kpi
Como na componente z temos z=t0 e queremos z=pi/2, escolhemos
t0 = pi2

Passo 3

Derivando r(t) obtemos
r'(t) = (-2sin t,;cos t,;1)
Avaliando em t0=tfracpi2:
r'l(tfracpi2r) = l(-2sin(tfracpi2),;cos(tfracpi2),;1r) = (-2,0,1)

Passo 4

A reta tangente em p tem equação vetorial
L(s) = p + s, r'l(tfracpi2r) = (0,1,tfracpi2) + s,(-2,0,1)

Passo 5

Extraindo as componentes, as equações paramétricas são
x(s) = -2s, y(s) = 1, z(s) = tfracpi2 + s

Resposta

Equação vetorial:
L(s) = (0,1,tfracpi2) + s,(-2,0,1)
Equações paramétricas:
x(s) = -2s, y(s) = 1, z(s) = tfracpi2 + s

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