Seja an=3 n^2(4 n^4+2)^1 / 2. Cálcule lim n infty an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência an = 3n^2raiz4n^4 + 2 e a tarefa é descobrir qual é o limite dessa sequência quando n vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limite de sequências e manipulação algébrica envolvendo potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. A ideia é identificar quais termos dominam conforme n fica muito grande (tende ao infinito). No numerador, temos 3n^2 e no denominador, dentro da raiz, 4n^4 + 2 .

Passo 3

No denominador, o termo 4n^4 é muito maior que o 2 quando n cresce. Então, podemos aproximar raiz4n^4 + 2 por raiz4n^4 , que é igual a 2n^2 . Assim, a expressão fica:
an approx 3n^22n^2

Passo 4

Agora, simplificando a fração acima, os n^2 se cancelam:
an approx 32
Isso mostra que, conforme n cresce, a sequência se aproxima de 32 .

Resposta

O limite da sequência é 32.

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