Seja an=(1+1n)^n. Cálcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = l(1+1nr)^n
quando ntoinfty. O conteúdo é limite de sequência exponencial e a técnica chave será usar logaritmo natural e propriedades de limites.

Passo 2

A ideia é aproveitar que o logaritmo natural transforma potências em produtos. Como ln é contínua, estudamos primeiro
ln an = nlnl(1+1nr)

Passo 3

Para encontrar lim ln an, definimos h=1n. Então hto0^+ e
nlnl(1+1nr)=ln(1+h)h
Como sabemos que
limhto0ln(1+h)h=1,
segue
limntoinftyln an = 1

Passo 4

Voltando da transformação, usamos que a função exponencial é contínua e inversa do logaritmo:
limntoinftyan = expl(limntoinftyln anr) = exp(1) = e

Resposta

e

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