Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada.
a) r(t)=(a(1-cos t), a(t-sen t)), 0 <= t <= 2 pi, a>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco descrito por uma partícula que se move sobre a curva definida pela equação paramétrica r(t) = (a(1 - cos t), a(t - sin t)) , para t no intervalo de 0 a 2pi , onde a > 0 . Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo que trata do comprimento de arco de curvas parametrizadas. Precisaremos das fórmulas que relacionam as derivadas das componentes da curva com o comprimento do arco total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco S de uma curva paramétrica r(t) = (x(t), y(t)) no intervalo de t1 a t2 , usamos a seguinte fórmula:
S = integralt1^t2 raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t .

Passo 3

Vamos identificar as componentes x(t) e y(t) da função r(t) :
x(t) = a(1 - cos t)
y(t) = a(t - sin t)
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a t .

Passo 4

Calculando dxdt :
dxdt = a cdot ddt(1 - cos t) = a cdot (sin t) = a sin t
Calculando dydt :
dydt = a cdot ddt(t - sin t) = a cdot (1 - cos t)

Passo 5

Agora, substituímos dxdt e dydt na fórmula do comprimento de arco:
S = integral0^2pi raiz(a sin t)^2 + (a (1 - cos t))^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
S = integral0^2pi raiza^2 sin^2 t + a^2 (1 - cos t)^2 , dt

Passo 6

Vamos fatorar a^2 dentro da raiz:
S = integral0^2pi a raiz sin^2 t + (1 - cos t)^2 , dt
Porque raiza^2 cdot f(t) = a raizf(t) , já que a > 0 .

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
sin^2 t + (1 - cos t)^2 = sin^2 t + 1 - 2 cos t + cos^2 t
Lembrando que sin^2 t + cos^2 t = 1 :
sin^2 t + (1 - cos t)^2 = 1 + 1 - 2 cos t = 2 - 2 cos t

Passo 8

Então, nosso integrando fica:
S = integral0^2pi a raiz2 - 2 cos t , dt
Podemos fatorar 2 dentro da raiz:
raiz2 - 2 cos t = raiz2(1 - cos t) = raiz2 cdot raiz1 - cos t
Então:
S = a raiz2 integral0^2pi raiz1 - cos t , dt

Passo 9

Agora, precisamos simplificar raiz1 - cos t . Usamos uma identidade trigonométrica:
1 - cos t = 2 sin^2 ( t2 )
Portanto:
raiz1 - cos t = raiz2 cdot | sin ( t2 ) |
Como t varia de 0 a 2pi , sin ( t2 ) é não-negativo, então podemos omitir o valor absoluto:
raiz1 - cos t = raiz2 sin ( t2 )

Passo 10

Substituindo de volta na integral:
S = a raiz2 cdot raiz2 integral0^2pi sin ( t2 ) dt
S = 2a integral0^2pi sin ( t2 ) dt

Passo 11

Vamos calcular a integral:
integral sin ( t2 ) dt
Fazendo a substituição u = t2 , então du = 12 dt , o que implica dt = 2 du .
Então:
integral sin u cdot 2 du = 2 integral sin u du = -2 cos u + C = -2 cos ( t2 ) + C

Passo 12

Aplicando os limites de integração de 0 a 2pi :
-2 cos ( t2 ) |0^2pi = -2 cos pi + 2 cos 0 = -2(-1) + 2(1) = 2 + 2 = 4

Passo 13

Portanto, o comprimento de arco é:
S = 2a cdot 4 = 8a

Resposta

O comprimento de arco da curva é 8a .

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