Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada.
a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco descrito por uma partícula que se move sobre a curva definida pela equação paramétrica , para no intervalo de a , onde . Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo que trata do comprimento de arco de curvas parametrizadas. Precisaremos das fórmulas que relacionam as derivadas das componentes da curva com o comprimento do arco total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva paramétrica no intervalo de a , usamos a seguinte fórmula:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos identificar as componentes e da função :
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a .
Passo 4
Calculando :
Calculando :
Passo 5
Agora, substituímos e na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Vamos fatorar dentro da raiz:
Porque , já que .
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Lembrando que :
Passo 8
Então, nosso integrando fica:
Podemos fatorar 2 dentro da raiz:
Então:
Passo 9
Agora, precisamos simplificar . Usamos uma identidade trigonométrica:
Portanto:
Como t varia de 0 a 2pi , sin ( t2 ) é não-negativo, então podemos omitir o valor absoluto:
raiz1 - cos t = raiz2 sin ( t2 )
Passo 10
Substituindo de volta na integral:
S = a raiz2 cdot raiz2 integral0^2pi sin ( t2 ) dt
S = 2a integral0^2pi sin ( t2 ) dt
Passo 11
Vamos calcular a integral:
integral sin ( t2 ) dt
Fazendo a substituição u = t2 , então du = 12 dt , o que implica dt = 2 du .
Então:
integral sin u cdot 2 du = 2 integral sin u du = -2 cos u + C = -2 cos ( t2 ) + C
Passo 12
Aplicando os limites de integração de 0 a 2pi :
-2 cos ( t2 ) |0^2pi = -2 cos pi + 2 cos 0 = -2(-1) + 2(1) = 2 + 2 = 4