Esboce o gráfico de uma função em [-1,2] que tenha um máximo local, mas năo tenha máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede uma função definida em [-1,2] que tenha um máximo local mas não tenha máximo absoluto. Como sabemos pelo Teorema de Weierstrass, qualquer função contínua em um intervalo fechado atinge máximo absoluto, então precisamos considerar uma função que seja descontínua em algum ponto de [-1,2]. Além disso, para não haver máximo absoluto basta que o supremo dos valores seja “infinito” ou que o maior valor não seja atingido.

Passo 2

Para fazer o supremo explodir sem ser atingido, podemos usar um assimptota vertical em x=2. Por exemplo, a parte
f(x)=12-x
para x<2 faz com que limxto2^-f(x)=+infty, logo não há valor máximo atingido.

Passo 3

Agora precisamos introduzir um pico em um ponto interior para criar um máximo local. Escolhemos x=0 e definimos um “salto” no valor de f(0) muito acima dos valores vizinhos. Por exemplo:
f(0)=10,
enquanto para xneq0 e x<2 mantemos f(x)=1/(2-x). Para completar, atribuímos um valor qualquer em x=2 (por exemplo f(2)=0).

Passo 4

Verificação do máximo local em x=0:
  • Se x está bem próximo de 0 mas diferente de 0, então f(x)=12-xapprox12=0,5, que é muito menor que f(0)=10.
  • Logo existe um intervalo (-r,r)subset[-1,2] tal que f(x)<f(0) para todo xin(-r,r)setminus0. Assim, x=0 é um máximo local.

Passo 5

Verificação de que não há máximo absoluto:
  • Para xto2^-, f(x)=12-xto+infty, ou seja, os valores de f crescem sem limite e não existem x tais que f(x)=+infty.
  • Portanto, não há valor máximo absoluto, pois qualquer candidato poderia ser superado por f(x) com x suficientemente próximo de 2.

Resposta

Uma função que cumpre esses requisitos é
f(x)= 12-x,&xin[-1,2),;xneq0,[1em] 10,&x=0,[0.5em] 0,&x=2
No gráfico, você veria uma hipérbole em [-1,2) com assimptota vertical em x=2 e um ponto isolado em (0,10) formando o máximo local.]

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