Seja f: R R contínua. Prove que se f(x)=0 para todo x in X, então f(x)=0 para todo x in barX. Generalize o resultado para f constante (qualquer) em X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com funções contínuas f: R R. A ideia é mostrar que se f(x) = 0 pra todo x que pertence a um conjunto X, então f(x) também será zero pra todos os pontos que estão na fechadura de X, que é representada por barX. Além disso, a gente vai estender isso pra funções constantes em X. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e o conceito de fechamento de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fechadura de um conjunto X, denotada por barX. A fechadura de X é o menor conjunto fechado que contém X. Em termos simples, ela inclui todos os pontos de X mais os seus pontos de acumulação (limites).

Passo 3

Agora, como f é uma função contínua, sabemos que se uma sequência de pontos xn em X converge para algum ponto x em R, então f(xn) converge para f(x). Essa propriedade da continuidade vai ser crucial pra gente.

Passo 4

Vamos assumir que f(x) = 0 para todo x in X. Queremos mostrar que isso também vale para todo x in barX. Seja x in barX. Por definição de fechadura, existe uma sequência (xn) em X que converge pra x.

Passo 5

Como f é contínua, temos que:
limn to infty f(xn) = f( limn to infty xn ) = f(x)
Mas como f(xn) = 0 pra todo n, então:
limn to infty f(xn) = limn to infty 0 = 0

Passo 6

Portanto, f(x) = 0. Isso mostra que se f é zero em todo X, ela também é zero em todo ponto da fechadura de X, barX.

Passo 7

Agora, vamos generalizar pra funções constantes. Suponha que f(x) = c para todo x in X, onde c é uma constante qualquer. Queremos mostrar que f(x) = c para todo x in barX.

Passo 8

Usando o mesmo raciocínio anterior, para x in barX, existe uma sequência (xn) em X que converge pra x. Como f é contínua:
f(x) = limn to infty f(xn) = limn to infty c = c

Resposta

Se f é contínua em R e f(x) = 0 para todo x in X, então f(x) = 0 para todo x in barX. Além disso, se f é constante em X, ou seja, f(x) = c para algum c in R e todo x in X, então f(x) = c para todo x in barX.

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