Seja
contínua. Prove que se
para todo
, então
para todo
. Generalize o resultado para
constante (qualquer) em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com funções contínuas
. A ideia é mostrar que se
pra todo
que pertence a um conjunto
, então
também será zero pra todos os pontos que estão na fechadura de
, que é representada por
. Além disso, a gente vai estender isso pra funções constantes em
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e o conceito de fechamento de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fechadura de um conjunto
, denotada por
. A fechadura de
é o menor conjunto fechado que contém
. Em termos simples, ela inclui todos os pontos de
mais os seus pontos de acumulação (limites).
Passo 3
Agora, como
é uma função contínua, sabemos que se uma sequência de pontos
em
converge para algum ponto
em
, então
converge para
. Essa propriedade da continuidade vai ser crucial pra gente.
Passo 4
Vamos assumir que
para todo
. Queremos mostrar que isso também vale para todo
. Seja
. Por definição de fechadura, existe uma sequência
em
que converge pra
.
Passo 5
Como
é contínua, temos que:
Mas como
pra todo
, então:
Passo 6
Portanto,
. Isso mostra que se
é zero em todo
, ela também é zero em todo ponto da fechadura de
,
.
Passo 7
Agora, vamos generalizar pra funções constantes. Suponha que
para todo
, onde
é uma constante qualquer. Queremos mostrar que
para todo
.
Passo 8
Usando o mesmo raciocínio anterior, para
, existe uma sequência
em
que converge pra
. Como
é contínua:
Resposta
Se
é contínua em
e
para todo
, então
para todo
. Além disso, se
é constante em
, ou seja,
para algum
e todo
, então
para todo
.