Considere a reta tangente à elipse x^2a^2+y^2b^2=1 no ponto (p, q) do primeiro quadrante.
(a) Mostre que a reta tangente tem a intersecção com o eixo x em a^2 / p e a intersecção com o eixo y em b^2 / q.

Passo 1

O enunciado trata da elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
e pede a reta tangente em (p,q) (com p>0, q>0) e suas interseções com os eixos coordenados. Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, escrever a reta em forma ponto-declive para achar as interseções.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
x^2a^2+y^2b^2=1
em relação a x, obtemos
2xa^2+2yb^2,y'=0
logo
y'=-,b^2xa^2y
Em (p,q) o coeficiente angular é
m = y'l|(p,q) = -,b^2pa^2q

Passo 3

A reta tangente em (p,q) em forma ponto-declive é
y - q = m,(x - p)
ou seja
y - q = -,b^2pa^2q,(x - p)

Passo 4

Para achar a interseção com o eixo x fazemos y=0:
substituindo em y - q = -b^2pa^2q(x - p) vem
-,q = -,b^2pa^2q(x - p) Longrightarrow b^2pa^2q(x - p)=q Longrightarrow b^2p,x = b^2p^2+a^2q^2
Mas da elipse tfracp^2a^2+tfracq^2b^2=1 segue b^2p^2+a^2q^2=a^2b^2, logo
b^2p,x = a^2b^2 Longrightarrow x = a^2p
De modo análogo, para x=0 obtemos
a^2q,y = a^2b^2 Longrightarrow y = b^2q

Resposta

A reta tangente em (p,q) intersecta o eixo x em x=dfraca^2p e o eixo y em y=dfracb^2q.

Exercícios relacionados