Considere a reta tangente à elipse no ponto do primeiro quadrante.
(a) Mostre que a reta tangente tem a intersecção com o eixo em e a intersecção com o eixo em .
Passo 1
O enunciado trata da elipse
e pede a reta tangente em (com , ) e suas interseções com os eixos coordenados. Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, escrever a reta em forma ponto-declive para achar as interseções.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a , obtemos
logo
Em o coeficiente angular é
Passo 3
A reta tangente em (p,q) em forma ponto-declive é
y - q = m,(x - p)
ou seja
y - q = -,b^2pa^2q,(x - p)
Passo 4
Para achar a interseção com o eixo x fazemos y=0:
substituindo em y - q = -b^2pa^2q(x - p) vem