Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso. .
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica
no intervalo .
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva: precisamos calcular a derivada , seu módulo e integrar isso de 0 a 2.
Passo 2
Vamos achar r'(t). Derivando componente a componente:
x(t)=e^tcos t Rightarrow x'(t)=e^tcos t - e^tsin t,
y(t)=e^tsin t Rightarrow y'(t)=e^tsin t + e^tcos t
Logo,
r'(t)=l(e^t(cos t - sin t),;e^t(sin t + cos t)r)
Passo 3
Agora calculamos o módulo l|r'(t)r|:
l|r'(t)r| = raizl[e^t(cos t - sin t)r]^2 + l[e^t(sin t + cos t)r]^2
Fatorando e^2t e somando os quadrados:
(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2 = cos^2t -2sin tcos t + sin^2t + sin^2t +2sin tcos t + cos^2t =2(sin^2t+cos^2t)=2