Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
r(t)=(e^t cos t, e^t sen t), 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica
r(t) = l(e^tcos t,,e^tsin tr)
no intervalo 0<= t<=2.
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva: precisamos calcular a derivada r'(t), seu módulo l|r'(t)r| e integrar isso de 0 a 2.

Passo 2

Vamos achar r'(t). Derivando componente a componente:
x(t)=e^tcos t Rightarrow x'(t)=e^tcos t - e^tsin t,
y(t)=e^tsin t Rightarrow y'(t)=e^tsin t + e^tcos t
Logo,
r'(t)=l(e^t(cos t - sin t),;e^t(sin t + cos t)r)

Passo 3

Agora calculamos o módulo l|r'(t)r|:
l|r'(t)r| = raizl[e^t(cos t - sin t)r]^2 + l[e^t(sin t + cos t)r]^2
Fatorando e^2t e somando os quadrados:
(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2 = cos^2t -2sin tcos t + sin^2t + sin^2t +2sin tcos t + cos^2t =2(sin^2t+cos^2t)=2
Então
l|r'(t)r| = raiz2,e^2t = raiz2,e^t

Passo 4

O comprimento de arco é
S = integral0^2 l|r'(t)r|,dt = integral0^2 raiz2,e^t,dt = raiz2,l[e^tr]0^2 = raiz2,l(e^2-1r)

Resposta

S = raiz2,l(e^2 - 1r)

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