Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
r(t)=t i+3 t^2 j+6 t^3 k, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco descrito por uma partícula que se move ao longo da curva dada pela equação r(t) = t,i + 3t^2,j + 6t^3,k no intervalo de tempo de t = 0 até t = 2 . Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva parametrizada por r(t) , usamos a seguinte fórmula:
Comprimento de arco = integrala^b | r'(t) | , dt
Aqui, r'(t) é a derivada de r(t) em relação a t , e | r'(t) | representa o módulo (ou norma) desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r(t) :
r(t) = t,i + 3t^2,j + 6t^3,k
Derivando cada componente em relação a t :
r'(t) = ddt(t),i + ddt(3t^2),j + ddt(6t^3),k = 1,i + 6t,j + 18t^2,k

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo de r'(t) :
| r'(t) | = raiz(1)^2 + (6t)^2 + (18t^2)^2 = raiz1 + 36t^2 + 324t^4

Passo 5

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que pode ser simplificada como um quadrado perfeito:
324t^4 + 36t^2 + 1 = (18t^2 + 1)^2
Então, podemos reescrever | r'(t) | como:
| r'(t) | = raiz(18t^2 + 1)^2 = 18t^2 + 1
(Note que tiramos a raiz quadrada de um quadrado, e como t está entre 0 e 2, o resultado dentro da raiz é positivo.)

Passo 6

Agora, vamos integrar | r'(t) | de t = 0 a t = 2 :
Comprimento de arco = integral0^2 (18t^2 + 1) , dt

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral (18t^2 + 1) , dt = 18 integral t^2 , dt + integral 1 , dt = 18 ( t^33 ) + t + C = 6t^3 + t + C

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Comprimento de arco = [6t^3 + t]0^2 = (6(2)^3 + 2) - (6(0)^3 + 0) = (6 cdot 8 + 2) - 0 = 48 + 2 = 50

Resposta

O comprimento de arco da curva de t = 0 até t = 2 é 50 unidades.

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