Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco descrito por uma partícula que se move ao longo da curva dada pela equação
no intervalo de tempo de
até
. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
representa o módulo (ou norma) desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo de
:
Passo 5
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que pode ser simplificada como um quadrado perfeito:
Então, podemos reescrever
como:
(Note que tiramos a raiz quadrada de um quadrado, e como
está entre 0 e 2, o resultado dentro da raiz é positivo.)
Passo 6
Agora, vamos integrar
de
a
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Resposta
O comprimento de arco da curva de
até
é 50 unidades.