Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
r(t)=a(cos t+t sen t) i+a(sen t-t cos t) j, 0 <= t <= 2 pi, a>0.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de
r(t)=al(cos t+tsen tr),vec i +al(sen t-tcos tr),vec j
no intervalo 0<= t<=2pi.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
S=integralt1^t2l|r'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos calcular r'(t).
Para a componente x(t)=a(cos t+tsen t):
x'(t)=al(-sen t+sen t+tcos tr)=a,tcos t
Para a componente y(t)=a(sen t-tcos t):
y'(t)=al(cos t-(cos t -tsen t)r)=a,tsen t
Logo,
r'(t)=l(a,tcos t,;a,tsen tr)
e o módulo é
l|r'(t)r| =raiz(a,tcos t)^2+(a,tsen t)^2 =a,traizcos^2t+sen^2t =a,t

Passo 3

Aplicando a fórmula do comprimento de arco:
S=integral0^2pia,t,dt =aintegral0^2pit,dt =al[t^22r]0^2pi = acdot(2pi)^22 =2pi^2,a

Resposta

O comprimento de arco é
S=2pi^2,a

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