Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Determine o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo de Tcolon R^3toR^3 representada pela matriz
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
Isto significa achar todos os vetores x=(x1,x2,x3) tais que A x=0. Para isso vamos montar e resolver o sistema homogêneo correspondente.

Passo 2

Escrevemos A x=0 na forma de sistema:
2x1-x2-x3=0, -,x1+2x2-x3=0, -,x1-x2+2x3=0

Passo 3

Para simplificar, subtraímos a segunda equação da primeira:
(2x1-x2-x3)-(-x1+2x2-x3) =3x1-3x2=0 Longrightarrow x1=x2
Analogamente, subtraindo a terceira da primeira:
(2x1-x2-x3)-(-x1-x2+2x3) =3x1-3x3=0 Longrightarrow x1=x3
Logo x1=x2=x3.

Passo 4

Como x1=x2=x3, seja t=x1. Então todo vetor x do núcleo é da forma
x = (t,t,t) = t,(1,1,1), tinR

Resposta

ker(T)=,t(1,1,1)mid tinR.

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