Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
r(t)=t i+ln (sec t) j+ln (sec t+tan t) k, 0 <= t <= pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover ao longo da curva definida pela equação r(t) = t i + ln (sec t) j + ln (sec t+tan t) k no intervalo de tempo de 0 até pi4 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve calcular a integral da magnitude da derivada da função vetorial r(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t , ou seja, r'(t) . Isso significa derivar cada componente da função vetorial:
r(t) = t i + ln (sec t) j + ln (sec t+tan t) k
Derivando cada termo:
  • Derivada de t em relação a t é 1 .
  • Derivada de ln (sec t) é ddt [ln (sec t)] = tan t .
  • Derivada de ln (sec t + tan t) é ddt [ln (sec t + tan t)] = sec t .
Então,
r'(t) = 1 i + tan t j + sec t k

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de r'(t) , que é essencial para encontrar o comprimento do arco. A magnitude de um vetor v = a i + b j + c k é dada por:
| v | = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso ao nosso r'(t) :
| r'(t) | = raiz1^2 + (tan t)^2 + (sec t)^2
Simplificando:
| r'(t) | = raiz1 + tan^2 t + sec^2 t
Lembrando que 1 + tan^2 t = sec^2 t , então:
| r'(t) | = raizsec^2 t + sec^2 t = raiz2 sec^2 t = sec t raiz2

Passo 4

Com a magnitude de r'(t) encontrada, vamos agora integrar essa expressão no intervalo de t = 0 até t = pi4 para encontrar o comprimento do arco L :
L = integral0^pi4 | r'(t) | dt = integral0^pi4 sec t raiz2 , dt
Fatorando a constante raiz2 :
L = raiz2 integral0^pi4 sec t , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral integral sec t , dt , que é uma integral padrão em cálculo. Sabemos que:
integral sec t , dt = ln |sec t + tan t| + C
Aplicando os limites de integração:
L = raiz2 [ ln (sec t + tan t) ]0^pi4
Calculando nos limites:
Para t = pi4 :
sec ( pi4 ) = raiz2, tan ( pi4 ) = 1
Então,
ln (raiz2 + 1)
Para t = 0 :
sec(0) = 1, tan(0) = 0
Então,
ln (1 + 0) = ln 1 = 0
Portanto,
L = raiz2 ( ln (raiz2 + 1) - 0 ) = raiz2 ln (raiz2 + 1)

Resposta

O comprimento do arco é raiz2 ln (raiz2 + 1) unidades.

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