Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover ao longo da curva definida pela equação
no intervalo de tempo de
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve calcular a integral da magnitude da derivada da função vetorial
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar cada componente da função vetorial:
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que é essencial para encontrar o comprimento do arco. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Simplificando:
Lembrando que
, então:
Passo 4
Com a magnitude de
encontrada, vamos agora integrar essa expressão no intervalo de
até
para encontrar o comprimento do arco
:
Fatorando a constante
:
Passo 5
Vamos resolver a integral
, que é uma integral padrão em cálculo. Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Calculando nos limites:
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Portanto,
Resposta
O comprimento do arco é
unidades.