Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Determine uma base para a imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A= 2 & -1 & -1 -1& 2 & -1 -1&-1 & 2
e pede uma base para a imagem de T. Aqui o conteúdo é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é, Im(T)=Col(A).

Passo 2

Vamos chamar de
as colunas de . Então
Basta agora ver quantas dessas colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Procuramos uma combinação
alpha1,c1+alpha2,c2+alpha3,c3=0
Somando coordenada a coordenada notamos que
c1 + c2 + c3 = 2-1-1-1+2-1-1-1+2 =000
Logo existe dependência linear: c1+c2+c3=0. Isso mostra que dimIm(T)=2.

Passo 4

Como qualquer duas colunas são independentes (por exemplo c1 e c2), podemos escolher
,c1,;c2
como base de Im(T).

Resposta

Uma base para Im(T) é
2-1-1, -12-1

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