Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
r(t)=(a(1-cos t), a(t-sen t)), 0 <= t <= 2 pi, a>0.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica r(t) = l(a(1-cos t),;a(t-sen t)r) no intervalo 0<= t<=2pi. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva plana parametrizada; para isso, vamos precisar calcular a derivada r'(t), seu módulo |r'(t)| e então integrar de 0 a 2pi.

Passo 2

Calculamos a derivada da posição e simplificamos o módulo usando identidades trigonométricas:
r'(t)=l(asen t,;a(1-cos t)r)
|r'(t)| = araizsen^2 t + (1-cos t)^2
Como 1-cos t = 2sen^2(t/2), temos
sen^2 t + (1-cos t)^2 = 4sen^2(t/2)
logo
|r'(t)| = 2asenl(t/2r)

Passo 3

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco
s = integral0^2pi |r'(t)|,dt = integral0^2pi 2asenl(t/2r),dt
Fazendo a substituição direta, obtemos
s = 2a l[-4cos(t/2)r]0^2pi = 8a

Resposta

8a

Exercícios relacionados